Considere que a atmosfera seja um gás ideal e que a temperatura seja na região . Use a equação do problema 17) para mostrar que
e calcular a pressão no topo do Monte Everest, isto é, a .
Dados:
Onde Mé a massa molar do ar atmosférico, R a constante universal dos gases.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente mostrar uma fórmula que relaciona a pressão atmosférica com a altitude, assumindo que a atmosfera é um gás ideal e a temperatura é constante a 0°C na faixa de 0 a 9000 metros. Para isso, vamos usar conceitos de gases ideais e a equação barométrica. Precisaremos das constantes dadas: aceleração da gravidade $ g $, constante universal dos gases $ R $ e massa molar do ar $ M $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Onde:
$ P $ é a pressão,
$ V $ é o volume,
$ n $ é a quantidade de mols,
$ R $ é a constante dos gases,
$ T $ é a temperatura.
Como queremos relacionar a pressão com a altitude $ y $, vamos derivar uma expressão que mostre como $ P $ varia com $ y $.
Passo 3
Considerando a atmosfera como um gás ideal e que a temperatura $ T $ é constante (0°C = 273,15 K), a variação de pressão com a altitude pode ser descrita pela equação barométrica:
T
Essa equação diz que a mudança na pressão com a altitude é proporcional à pressão atual. Vamos resolver essa equação diferencial.
Passo 4
Para resolver a equação diferencial, separamos as variáveis:
dPP = -MgRT dy
Integrando ambos os lados:
ln(P) = -MgRT y + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Resolvendo para $ P $:
C
Aqui, $ P_0 $ é a pressão na superfície ($ y = 0 $), que é $ P_{atm} $. Então, a expressão final fica:
P
Passo 5
Agora, vamos calcular a pressão no topo do Monte Everest ($ y = 8848 $ m). Primeiro, precisamos garantir que todas as unidades estão consistentes.
Dados:
y = 8848 ãí
Vamos substituir esses valores na fórmula:
g &= 9,82 , m/s^2 R &= 8,314 , J/(mol·K) M &= 28,96 , g/mol = 0,02896 , kg/mol T &= 273,15 , K Patm &= 101325 , Pa (pressão ao nível do mar)
Passo 6
Primeiro, calculamos o expoente:
0,02896 times 9,82 times 88488,314 times 273,15 approx 2511,52270,3 approx 1,106
Então:
P(8848) = 101325 , e^-1,106 approx 101325 times 0,3308 approx 33572 , Pa
Resposta
A pressão no topo do Monte Everest, a 8848 metros de altitude, é aproximadamente 33.572 Pa.