Considere um átomo de hidrogênio (
) e massa reduzida
, o elétron deste átomo encontrana função de onda radial
e
é o raio de Bohr. O potencial entre núcleo e elétron é dado por
.
Por substituição direta, mostre que a função de onda acima é solução da equação de Schrodinger e determine o valor da energia do estado em termos de constantes universais e parâmetros do problema.
Por substituição direta, mostre que a função de onda acima é solução da equação de Schrodinger e determine o valor da energia do estado em termos de constantes universais e parâmetros do problema.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um átomo de hidrogênio, que é aquele com só um próton no núcleo e um elétron girando ao redor. A função de onda radial do elétron é dada por:
Aqui, $ n = 2 $ e $ l = 1 $, e $ a_{0} $ é o raio de Bohr, que é uma constante importante na física do átomo de hidrogênio. O potencial entre o núcleo e o elétron é:
Vamos usar a Equação de Schrödinger para verificar se essa função de onda realmente resolve a equação e, se sim, descobrir qual é a energia desse estado. A matéria principal aqui é a mecânica quântica, especificamente a solução da Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Vamos precisar calcular derivadas da função de onda e aplicar a equação para encontrar a energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a forma da Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial $ V® $:
Como estamos lidando com a parte radial, a equação simplifica para:
Aqui, $ R® $ é a função de onda radial que a gente tem, e $ l = 1 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada primeira de $ R_{21}® $:
E a derivada segunda:
Passo 4
Agora, vamos montar o termo $ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} \left( r^{2} \frac{dR}{dr} \right) $. Calculando isso com as derivadas que encontramos:
Substituindo as derivadas:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na Equação de Schrödinger:
Vamos substituir $ l = 1 $ e $ V® = -\frac{\hbar^{2}}{\mu a_{0} r} $:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ R_{21}® $ e suas derivadas na equação acima. Depois de substituir, simplificar os termos e organizar tudo para isolar $ E $:
Após realizar os cálculos, todo o lado esquerdo da equação se iguala ao lado direito, confirmando que $ R_{21}® $ é realmente uma solução da Equação de Schrödinger para esse potencial.
Resposta
A energia do estado $ n = 2 $ e $ l = 1 $ é: