Considere um átomo de hidrogênio ( Z=1 ) e massa reduzida mu, o elétron deste átomo encontrana função de onda radial R21(r)=12 raiz6 a0^3(ra0) e^-tau / 2 a0 com n=2 e l=1 e a0 é o raio de Bohr. O potencial entre núcleo e elétron é dado por V(r)=-hbar^2mu a0 r.
Por substituição direta, mostre que a função de onda acima é solução da equação de Schrodinger e determine o valor da energia do estado em termos de constantes universais e parâmetros do problema.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um átomo de hidrogênio, que é aquele com só um próton no núcleo e um elétron girando ao redor. A função de onda radial do elétron é dada por:
R21(r) = 12 raiz6 a0^3 ( ra0 ) e^-r / (2 a0)
Aqui, $ n = 2 $ e $ l = 1 $, e $ a_{0} $ é o raio de Bohr, que é uma constante importante na física do átomo de hidrogênio. O potencial entre o núcleo e o elétron é:
n = 2
Vamos usar a Equação de Schrödinger para verificar se essa função de onda realmente resolve a equação e, se sim, descobrir qual é a energia desse estado. A matéria principal aqui é a mecânica quântica, especificamente a solução da Equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio. Vamos precisar calcular derivadas da função de onda e aplicar a equação para encontrar a energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma da Equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula em um potencial $ V® $:
V(r)
Como estamos lidando com a parte radial, a equação simplifica para:
-hbar^22mu nabla^2 psi(r) + V(r) psi(r) = E psi(r)
Aqui, $ R® $ é a função de onda radial que a gente tem, e $ l = 1 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada primeira de $ R_{21}® $:
R21(r)
E a derivada segunda:
dR21dr = 12 raiz6 a0^3 ( 1a0 e^-r / (2 a0) - r2 a0^2 e^-r / (2 a0) )

Passo 4

Agora, vamos montar o termo $ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} \left( r^{2} \frac{dR}{dr} \right) $. Calculando isso com as derivadas que encontramos:
1r^2 ddr ( r^2 dRdr )
Substituindo as derivadas:
1r^2 ddr ( r^2 dR21dr ) = 1r^2 ( 2r dR21dr + r^2 d^2R21dr^2 )

Passo 5

Substituindo tudo de volta na Equação de Schrödinger:
-hbar^22mu ( 2r dR21dr + d^2R21dr^2 - l(l+1)r^2 R21 ) + V(r) R21 = E R21
Vamos substituir $ l = 1 $ e $ V® = -\frac{\hbar^{2}}{\mu a_{0} r} $:
l = 1

Passo 6

Agora, vamos substituir $ R_{21}® $ e suas derivadas na equação acima. Depois de substituir, simplificar os termos e organizar tudo para isolar $ E $:
R21(r) ã
Após realizar os cálculos, todo o lado esquerdo da equação se iguala ao lado direito, confirmando que $ R_{21}® $ é realmente uma solução da Equação de Schrödinger para esse potencial.

Resposta

A energia do estado $ n = 2 $ e $ l = 1 $ é:
n = 2

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