Uma partícula de massa m está confinada em um potencial harmônico unidimensional e seu estado é descrito pela função de onda psi1(x)=(12 pi L^6)^1 / 4 x e^-x^24 L^2, valida para qualquer ponto do eixo x . A energia desta partícula é dada por E1=3 hbar^2 / 4 m L^2.
Determine a variância da posição, sigmax=raizlang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2, para esta função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma partícula com massa $ m $ presa em um potencial harmônico unidimensional. A função de onda que descreve o estado dessa partícula é:
m
E a energia dessa partícula é dada por:
psi1(x) = (12 pi L^6)^1 / 4 , x , e^-x^24 L^2
O que a gente precisa encontrar é a variância da posição, representada por $ \sigma_{x} = \sqrt{\left\langle x^{2} \right\rangle - \left\langle x \right\rangle^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e valores esperados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses valores esperados $ \left\langle x \right\rangle $ e $ \left\langle x^{2} \right\rangle lang<= x rang<= ãéíá \left\langle x \right\rangle lang<= x^2 rang<= ãá \left\langle x^{2} \right\rangle $).
A média $ \left\langle x \right\rangle $ é calculada pela integral da função de onda vezes $ x $ vezes a função de onda complexa (que, no nosso caso, é real):
lang<= x rang<=
No nosso caso, como a função de onda é real, $ \psi_{1}^{*}(x) = \psi_{1}(x) $.

Passo 3

Vamos calcular $ \left\langle x \right\rangle $:
lang<= x rang<=
Simplificando, temos:
lang<= x rang<= = integral-infty^+infty (12 pi L^6)^1 / 2 , x cdot x cdot e^-x^22 L^2 , dx
No entanto, notamos que a função $ x^{2} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Mas multiplicada por $ x $, que é ímpar, a função total $ x^{3} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
lang<= x rang<= = (12 pi L^6)^1 / 2 integral-infty^+infty x^2 , e^-x^22 L^2 , dx

Passo 4

Agora vamos calcular $ \left\langle x^{2} \right\rangle $:
lang<= x^2 rang<=
Substituindo a função de onda:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty psi1^*(x) , x^2 , psi1(x) , dx
Simplificando:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty (12 pi L^6)^1 / 2 , x cdot x^2 cdot e^-x^22 L^2 , dx
Novamente, notamos que $ x^{3} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é uma função ímpar, então a integral sobre todo o eixo x será zero:
lang<= x^2 rang<= = (12 pi L^6)^1 / 2 integral-infty^+infty x^3 , e^-x^22 L^2 , dx

Passo 5

Parece estranho que $ \left\langle x^{2} \right\rangle $ seja zero, certo? Vamos verificar se a função de onda está corretamente normalizada e se a definição de $ x^{2} $ está aplicada corretamente.
Na verdade, houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer o cálculo de $ \left\langle x^{2} \right\rangle $:
A função de onda é:
lang<= x^2 rang<=
Então:
x^2
Agora, a integral fica:
lang<= x^2 rang<=
Essa é uma integral padrão envolvendo funções gaussianas. A integral de $ x^{2} e^{-a x^{2}} $ de psi1(x) = (12 pi L^6)^1 / 4 , x , e^-x^24 L^2 a psi1^*(x) , x^2 , psi1(x) = (12 pi L^6)^1 / 2 , x^2 , e^-x^22 L^2 é:
lang<= x^2 rang<= = (12 pi L^6)^1 / 2 integral-infty^+infty x^2 , e^-x^22 L^2 , dx
No nosso caso, $ a = \frac{1}{2 L^{2}} $, então:
x^2 e^-a x^2
Mas vamos simplificar usando a normalização:
-infty

Passo 6

Agora que temos $ \left\langle x \right\rangle = 0 $ e $ \left\langle x^{2} \right\rangle = L^{2} $, podemos calcular a variância $ \sigma_{x} $:
lang<= x rang<= = 0

Resposta

A variância da posição é $ \sigma_{x} = L $.

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