Uma partícula de massa
está confinada em um potencial harmônico unidimensional e seu estado é descrito pela função de onda
, valida para qualquer ponto do eixo x . A energia desta partícula é dada por
.
Determine a variância da posição,
, para esta função de onda.
Determine a variância da posição,
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. Temos uma partícula com massa $ m $ presa em um potencial harmônico unidimensional. A função de onda que descreve o estado dessa partícula é:
E a energia dessa partícula é dada por:
O que a gente precisa encontrar é a variância da posição, representada por $ \sigma_{x} = \sqrt{\left\langle x^{2} \right\rangle - \left\langle x \right\rangle^{2}} $. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica relacionados a funções de onda e valores esperados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses valores esperados $ \left\langle x \right\rangle $ e $ \left\langle x^{2} \right\rangle
\left\langle x \right\rangle
\left\langle x^{2} \right\rangle $).
A média $ \left\langle x \right\rangle $ é calculada pela integral da função de onda vezes $ x $ vezes a função de onda complexa (que, no nosso caso, é real):
No nosso caso, como a função de onda é real, $ \psi_{1}^{*}(x) = \psi_{1}(x) $.
Passo 3
Vamos calcular $ \left\langle x \right\rangle $:
Simplificando, temos:
No entanto, notamos que a função $ x^{2} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é uma função par, ou seja, é simétrica em relação ao eixo y. Mas multiplicada por $ x $, que é ímpar, a função total $ x^{3} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é ímpar. A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular $ \left\langle x^{2} \right\rangle $:
Substituindo a função de onda:
Simplificando:
Novamente, notamos que $ x^{3} e{-\frac{x{2}}{2 L^{2}}} $ é uma função ímpar, então a integral sobre todo o eixo x será zero:
Passo 5
Parece estranho que $ \left\langle x^{2} \right\rangle $ seja zero, certo? Vamos verificar se a função de onda está corretamente normalizada e se a definição de $ x^{2} $ está aplicada corretamente.
Na verdade, houve um erro na simplificação anterior. Vamos refazer o cálculo de $ \left\langle x^{2} \right\rangle $:
A função de onda é:
Então:
Agora, a integral fica:
Essa é uma integral padrão envolvendo funções gaussianas. A integral de $ x^{2} e^{-a x^{2}} $ de
a
é:
No nosso caso, $ a = \frac{1}{2 L^{2}} $, então:
Mas vamos simplificar usando a normalização:
Passo 6
Agora que temos $ \left\langle x \right\rangle = 0 $ e $ \left\langle x^{2} \right\rangle = L^{2} $, podemos calcular a variância $ \sigma_{x} $:
Resposta
A variância da posição é $ \sigma_{x} = L $.