Considere uma coluna circular de comprimento L e diâmetro D, esta coluna possui as seguintes características: Material de Fabricação: Módulo de Elasticidade E=200 [GPa] Limite de Escoamento σE=800 [MPa]. Propriedades Geométricas: L= 5 [m] D=0,20 [m] Fixação das extremidades: Ambas as extremidades da coluna estão engastadas. (K=0,5) Determine o maior valor da tensão admissível, σmax, para que a coluna sofra flambagem ainda na região elástica, permanecendo em uma condição de equilíbrio estável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma coluna circular com comprimento $ L = 5 $ metros e diâmetro $ D = 0,20 $ metros. O material da coluna tem módulo de elasticidade $ E = 200 $ GPa e limite de escoamento $ \sigma_E = 800 $ MPa. As extremidades da coluna estão fixas, o que influencia na forma como ela vai se comportar quando submetida a uma carga.
O conteúdo que vamos usar aqui é o da flambagem de colunas, especificamente a fórmula de Euler para determinar a carga crítica de flambagem. Vamos precisar entender como calcular a carga máxima que a coluna pode suportar antes de começar a se deformar de forma instável, garantindo que isso aconteça ainda na região elástica do material.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área da seção transversal da coluna. Como a coluna é circular, a área $ A $ é dada por:
Onde $ D = 0,20 $ m.
Calcular a área é importante porque vamos relacionar a carga com a tensão admissível na coluna.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula de Euler para encontrar a carga crítica de flambagem $ P_{cr} $. A fórmula é:
Onde:
- $ E = 200 $ GPa é o módulo de elasticidade,
- $ I $ é o momento de inércia da seção transversal,
- $ K = 0,5 $ é o fator de comprimento efetivo (para extremidades engastadas),
- $ L = 5 $ m é o comprimento da coluna.
Primeiro, precisamos calcular o momento de inércia $ I $ para uma seção circular:
Passo 4
Vamos calcular $ I $ usando $ D = 0,20 $ m:
Passo 5
Agora, substituímos $ I $, $ E $, $ K $, e $ L $ na fórmula de Euler:
Primeiro, calculamos o denominador:
Passo 6
Continuando o cálculo de $ P_{cr} $:
Passo 7
Agora, vamos relacionar a carga crítica $ P_{cr} $ com a tensão admissível $ \sigma_{max} $. A tensão é a carga dividida pela área:
Já calculamos $ A $ no Passo 2:
Passo 8
Substituindo $ P_{cr} $ e $ A $ na fórmula da tensão:
Convertendo para MPa:
Resposta
O maior valor da tensão admissível, $ \sigma_{max} $, para que a coluna sofra flambagem na região elástica, é aproximadamente 79,3 MPa.