Uma banheira termicamente isolada deve funcionar como um calorimetro ideal, mantendo a temperatura desejada pelo maior tempo possível. Considere uma banheira vazia com capacidade térmica de 4×105 cal/°C em um ambiente com temperatura de 25°C. Adiciona-se a essa banheira uma massa de água de 5×105 g à temperatura de 52 °C. Admitindo que não há perda de calor para o ambiente após a adição da massa de água, determine, em °C, a temperatura de equilíbrio térmico entre a água e a banheira.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma banheira que funciona como um calorímetro ideal, ou seja, ela está isolada termicamente e não troca calor com o ambiente depois que adicionamos a água. A banheira tem uma capacidade térmica de
e está no ambiente que está a 25°C. A gente adiciona nela uma massa de água de
que está a 52°C. A matéria que vamos usar aqui é a termologia, mais especificamente o conceito de equilíbrio térmico. Precisamos calcular qual será a temperatura final, ou seja, a temperatura de equilíbrio entre a água e a banheira.
Passo 2
Vamos lembrar que quando dois corpos com temperaturas diferentes são colocados em contato térmico, eles trocam calor até atingirem a mesma temperatura. Nesse processo, o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio. A fórmula que usamos para calcular isso é:
Onde:
- $ Q $ é a quantidade de calor (cal)
- $ m $ é a massa (g)
- $ c $ é a capacidade térmica específica (cal/g°C)
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura (°C)
Passo 3
Vamos identificar o que cada parte representa no nosso problema:
-
Água adicionada:
- Massa ($ m_{água} $) =
- Temperatura inicial ($ T_{água} $) = 52°C
- Capacidade térmica específica da água ($ c $) = 1 cal/g°C
- Massa ($ m_{água} $) =
-
Banheira:
- Capacidade térmica total ($ C_{banheira} $) =
- Temperatura inicial ($ T_{banheira} $) = 25°C
- Capacidade térmica total ($ C_{banheira} $) =
Queremos encontrar a temperatura de equilíbrio ($ T_{eq} $).
Passo 4
Vamos aplicar a conservação de energia. O calor perdido pela água será igual ao calor ganho pela banheira:
Substituindo pelas fórmulas:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que temos na equação:
Simplificando:
Passo 6
Vamos resolver a equação para encontrar $ T_{eq} $:
Primeiro, expandimos os termos:
Calculando:
Agrupando os termos com $ T_{eq} $ de um lado e os constantes do outro:
Passo 7
Agora, isolamos $ T_{eq} $:
Resposta
A temperatura de equilíbrio térmico entre a água e a banheira é de 40°C.