Considere um elemento orientado a sobre a face de uma barra submetida à torção. Demonstre e explique por que a tensão normal sobre as faces desse elemento a é igual à tensão de cisalhamento máxima.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos um elemento orientado a na face de uma barra que está sendo torcida. Nosso objetivo é mostrar por que a tensão normal nesse elemento a é igual à tensão de cisalhamento máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as tensões se transformam quando mudamos a orientação do elemento.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que quando uma barra está submetida à torção pura, as únicas tensões presentes na seção transversal são as de cisalhamento ( ). Não há tensões normais ( ) diretamente na direção das fibras da barra. Ou seja, e apenas está atuando.

Passo 3

Agora, vamos considerar um elemento de área dentro da seção transversal da barra que está orientado em um ângulo em relação às direções principais ( e ). Queremos encontrar as tensões normal ( ) e de cisalhamento ( ) nesse novo eixo.

Passo 4

Para encontrar essas tensões transformadas, usamos as fórmulas de transformação de tensões:

Passo 5

Como estamos lidando com torção pura, sabemos que . Assim, as fórmulas simplificam para:

Passo 6

Vamos agora substituir nessas equações:
Para a tensão normal:
Sabemos que , então:
Para a tensão de cisalhamento:

Passo 7

Os cálculos mostram que, quando o elemento está orientado a , a tensão normal nesse elemento é igual à tensão de cisalhamento aplicada originalmente. Além disso, a tensão de cisalhamento no novo eixo é zero.

Resposta

Portanto, a tensão normal no elemento orientado a é igual à tensão de cisalhamento máxima, ou seja, .

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