Considere um elemento orientado a
sobre a face de uma barra submetida à torção. Demonstre e explique por que a tensão normal sobre as faces desse elemento a
é igual à tensão de cisalhamento máxima.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos um elemento orientado a
na face de uma barra que está sendo torcida. Nosso objetivo é mostrar por que a tensão normal nesse elemento a
é igual à tensão de cisalhamento máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as tensões se transformam quando mudamos a orientação do elemento.
Passo 2
Primeiro, é importante lembrar que quando uma barra está submetida à torção pura, as únicas tensões presentes na seção transversal são as de cisalhamento (
). Não há tensões normais (
) diretamente na direção das fibras da barra. Ou seja,
e apenas
está atuando.
Passo 3
Agora, vamos considerar um elemento de área dentro da seção transversal da barra que está orientado em um ângulo
em relação às direções principais (
e
). Queremos encontrar as tensões normal (
) e de cisalhamento (
) nesse novo eixo.
Passo 4
Para encontrar essas tensões transformadas, usamos as fórmulas de transformação de tensões:
Passo 5
Como estamos lidando com torção pura, sabemos que
. Assim, as fórmulas simplificam para:
Passo 6
Vamos agora substituir
nessas equações:
Para a tensão normal:
Sabemos que
, então:
Para a tensão de cisalhamento:
Passo 7
Os cálculos mostram que, quando o elemento está orientado a
, a tensão normal
nesse elemento é igual à tensão de cisalhamento
aplicada originalmente. Além disso, a tensão de cisalhamento
no novo eixo é zero.
Resposta
Portanto, a tensão normal no elemento orientado a
é igual à tensão de cisalhamento máxima, ou seja,
.
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