Considere um elemento orientado a 45^circ sobre a face de uma barra submetida à torção. Demonstre e explique por que a tensão normal sobre as faces desse elemento a 45^circ é igual à tensão de cisalhamento máxima.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos um elemento orientado a 45^circ na face de uma barra que está sendo torcida. Nosso objetivo é mostrar por que a tensão normal nesse elemento a 45^circ é igual à tensão de cisalhamento máxima. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as tensões se transformam quando mudamos a orientação do elemento.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que quando uma barra está submetida à torção pura, as únicas tensões presentes na seção transversal são as de cisalhamento ( tau). Não há tensões normais ( sigma) diretamente na direção das fibras da barra. Ou seja, sigmax = sigmay = 0 e apenas tauxy está atuando.

Passo 3

Agora, vamos considerar um elemento de área dentro da seção transversal da barra que está orientado em um ângulo theta em relação às direções principais ( x e y). Queremos encontrar as tensões normal ( sigma') e de cisalhamento ( tau') nesse novo eixo.

Passo 4

Para encontrar essas tensões transformadas, usamos as fórmulas de transformação de tensões:
sigma' = sigmax cos^2 theta + sigmay sin^2 theta + 2 tauxy sin theta cos theta
tau' = (sigmay - sigmax) sin theta cos theta + tauxy (cos^2 theta - sin^2 theta)

Passo 5

Como estamos lidando com torção pura, sabemos que sigmax = sigmay = 0. Assim, as fórmulas simplificam para:
sigma' = 2 tauxy sin theta cos theta
tau' = tauxy (cos^2 theta - sin^2 theta)

Passo 6

Vamos agora substituir theta = 45^circ nessas equações:
Para a tensão normal:
sigma' = 2 tauxy sin 45^circ cos 45^circ
Sabemos que sin 45^circ = cos 45^circ = raiz22, então:
sigma' = 2 tauxy (raiz22) (raiz22) = 2 tauxy (24) = tauxy
Para a tensão de cisalhamento:
tau' = tauxy (cos^2 45^circ - sin^2 45^circ) = tauxy ((raiz22)^2 - (raiz22)^2) = tauxy ( 24 - 24 ) = 0

Passo 7

Os cálculos mostram que, quando o elemento está orientado a 45^circ, a tensão normal sigma' nesse elemento é igual à tensão de cisalhamento tauxy aplicada originalmente. Além disso, a tensão de cisalhamento tau' no novo eixo é zero.

Resposta

Portanto, a tensão normal no elemento orientado a 45^circ é igual à tensão de cisalhamento máxima, ou seja, sigma' = taumax.

Exercícios relacionados