Determine: Os invariantes do tensor de deformação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar os invariantes do tensor de deformação. Isso faz parte da matéria de mecânica dos sólidos, onde trabalhamos com tensores para descrever deformações. Para resolver, vamos precisar entender o que são invariantes de um tensor, que são quantidades que permanecem constantes mesmo se mudarmos de sistema de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o primeiro invariante. Esse invariante é simplesmente a soma dos elementos da diagonal principal do tensor, ou seja, a soma das suas componentes
. Matematicamente, representamos como:
Esse valor nos dá a magnitude total da deformação.
Passo 3
Agora, o segundo invariante. Ele é um pouco mais complicado, mas basicamente envolve a soma dos produtos das componentes do tensor. A fórmula para o segundo invariante é:
Aqui,
é a soma dos quadrados das componentes do tensor. Esse invariante está relacionado com a energia de deformação do material.
Passo 4
Por fim, temos o terceiro invariante, que é o determinante do tensor de deformação. O determinante nos dá uma ideia de como o volume é afetado pela deformação. A fórmula é:
Calcular o determinante de um tensor 3x3 envolve multiplicar e somar os produtos das componentes de forma específica.
Resposta
Os invariantes do tensor de deformação são:
- Primeiro invariante:
- Segundo invariante:
- Terceiro invariante:
Esses invariantes são fundamentais para descrever a natureza da deformação sem depender do sistema de coordenadas usado.