Considere um elétron no estado fundamental
de um poço quadrado infinito unidimensional de largura L ao longo do eixo
. Uma luz monocromática de frequência
, descrita pelo potencial
, onde
é a intensidade do campo elétrico associado à luz, incide sobre este elétron. Neste caso, é correto afirmar que
e) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para qualquer estado excitado
, contanto que
e) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para qualquer estado excitado
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um elétron no estado fundamental de um poço quadrado infinito unidimensional e está sendo atingido por uma luz com certa frequência. A questão pergunta se o elétron pode absorver energia dessa luz e pular para qualquer estado excitado $ n $, desde que a energia da luz corresponda a uma condição específica. Vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como níveis de energia em poços de potencial e transições entre estados.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são os níveis de energia de um elétron em um poço quadrado infinito. Para um poço de largura $ L $, as energias dos estados são dadas por:
onde:
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
- $ m $ é a massa do elétron,
- $ n $ é o número quântico do estado ($ n = 1, 2, 3, \dots $).
Passo 3
O exercício menciona que a luz incidente tem uma frequência $ \omega $ e está descrita pelo potencial:
Aqui, $ e $ é a carga do elétron, $ F $ é a intensidade do campo elétrico, e $ x $ é a posição ao longo do eixo do poço. Esse termo representa a interação do elétron com o campo elétrico da luz.
Passo 4
Para que o elétron absorva energia e faça a transição do estado fundamental ($ n=1
n $), a energia da luz deve corresponder à diferença de energia entre esses estados. Ou seja:
Substituindo as expressões de $ E_n $ e $ E_1 $:
Passo 5
A condição dada na questão é exatamente isso:
Então, se a energia da luz satisfaz essa igualdade, o elétron pode absorver um fóton e transitar para o estado $ n $.
Passo 6
Além disso, precisamos considerar se há permissões de transição entre os estados. No caso de um poço quadrado infinito, as transições permitidas dependem das propriedades dos estados e da interação com o campo elétrico. Porém, no potencial dado $ V(x, t) = e F x \cos(\omega t) $, o termo $ x $ permite transições entre qualquer par de estados, já que o elemento de matriz $ \langle n | x | 1 \rangle $ é diferente de zero para qualquer $ n $.
Resposta
Sim, o elétron pode absorver energia da luz e transitar para qualquer estado excitado $ n $, desde que a condição $ \hbar \omega = \frac{\hbar^{2} \pi{2}(n{2}-1)}{2 m L^{2}} $ seja satisfeita.
Exercícios relacionados
a) O elétron pode absorver energia desta luz e ir para o primeiro estado excitado,
, se
Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais
, onde
são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
c)
c)
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ao nível
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. Qual a frequência em Hertz, aproximadamente, do fóton emitido nessa transição? Se você quiser aumentar essa frequência, você deve fazer
maior ou menor? Use
e
.
c) , maior
c)
Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais
, onde
são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
e)
e)