Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
e) psi(r1, r2)=A[R1(r1) Y4^3(theta1, phi1) R1(r2) Y4^3(theta2, phi2)]|uparrow uparrowrang<=

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico, e queremos verificar se uma determinada função de onda é válida para esse sistema. A função de onda envolve componentes espaciais dadas por $ R_{n}® Y_{l}^{m}(\theta, \phi) $ e estados de spin representados pelas setas para cima ($ \uparrow Rn(r) Yl^m(theta, phi) \downarrow $). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a simetria das funções de onda e os princípios que regem partículas como os elétrons, que são férmions.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que os elétrons são partículas do tipo férmion. Isso significa que a função de onda total do sistema deve ser antissimétrica quando trocamos os dois elétrons. Ou seja, se a trocarmos, a função de onda deve mudar de sinal:
psi(r1, r2, uparrow uparrow) = -psi(r2, r1, uparrow uparrow)

Passo 3

Vamos analisar a parte espacial da função de onda fornecida na alternativa (e):
R1(r1) Y4^3(theta1, phi1) R1(r2) Y4^3(theta2, phi2)
Aqui, vemos que ambas as funções de posição para os dois elétrons são exatamente as mesmas. Isso significa que se trocarmos $ r_1 $ com $ r_2 $, a parte espacial da função de onda não muda:
r1
Então, a parte espacial é simétrica.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a parte de spin da função de onda:
|uparrow uparrowrang<=
Isso significa que ambos os elétrons têm spin para cima. Se trocarmos os dois elétrons, o estado de spin também não muda:
|uparrow uparrowrang<= = |uparrow uparrowrang<=
Portanto, a parte de spin também é simétrica.

Passo 5

Para que a função de onda total seja antissimétrica (como exigido para férmions), se a parte espacial é simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica, e vice-versa. No nosso caso, ambas as partes — espacial e de spin — são simétricas. Quando multiplicamos duas funções simétricas, o resultado também é simétrico:
Simétrica (espaço) times Simétrica (spin) = Simétrica (total) éçéé
Isso não satisfaz a condição de antissimetria necessária para uma função de onda válida de dois elétrons.

Resposta

A alternativa (e) não apresenta uma possível função de onda válida para o sistema de dois elétrons, pois a função total resultante é simétrica, e ela precisa ser antissimétrica para respeitar o princípio de exclusão de Pauli.

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