Considere as expressões trigonométricas abaixo: cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb e sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa Para calcular o cos2a e o sen2a, basta fazer a = b e, a partir das expressões trigonométricas, obtêm-se: cos2a = cos(a+a) = cos2a – sen2a e sen2a = sem(a+a) = 2sena.cosa De modo semelhante ao cálculo acima, desenvolva o cos3a e o sen3a.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício para desenvolver as expressões trigonométricas de cos 3a e sin 3a usando as fórmulas de soma de ângulos que a gente já conhece. Vamos precisar usar as identidades trigonométricas de cos(a + b) e sin(a + b), além das expressões que já temos para cos 2a e sin 2a.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de soma para cosseno e seno:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

Passo 3

Para encontrar cos 3a, podemos pensar em 3a como a + 2a. Assim, aplicamos a fórmula do cosseno da soma:
cos 3a = cos(a + 2a) = cos a cos 2a - sin a sin 2a

Passo 4

Já sabemos que:
cos 2a = cos^2 a - sin^2 a
sin 2a = 2 sin a cos a
Vamos substituir essas expressões na equação de cos 3a:
cos 3a = cos a (cos^2 a - sin^2 a) - sin a (2 sin a cos a)

Passo 5

Agora, vamos simplificar:
cos 3a = cos^3 a - cos a sin^2 a - 2 sin^2 a cos a
cos 3a = cos^3 a - 3 cos a sin^2 a

Passo 6

Sabemos que sin^2 a = 1 - cos^2 a pela identidade pitagórica. Vamos substituir:
cos 3a = cos^3 a - 3 cos a (1 - cos^2 a)

Passo 7

Distribuindo o -3 cos a:
cos 3a = cos^3 a - 3 cos a + 3 cos^3 a
cos 3a = 4 cos^3 a - 3 cos a

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para sin 3a. Usamos a fórmula do seno da soma:
sin 3a = sin(a + 2a) = sin a cos 2a + cos a sin 2a

Passo 9

Substituindo as expressões conhecidas:
sin 3a = sin a (cos^2 a - sin^2 a) + cos a (2 sin a cos a)

Passo 10

Simplificando:
sin 3a = sin a cos^2 a - sin^3 a + 2 sin a cos^2 a
sin 3a = 3 sin a cos^2 a - sin^3 a

Passo 11

Substituindo cos^2 a por 1 - sin^2 a:
sin 3a = 3 sin a (1 - sin^2 a) - sin^3 a
sin 3a = 3 sin a - 3 sin^3 a - sin^3 a

Passo 12

Somando os termos semelhantes:
sin 3a = 3 sin a - 4 sin^3 a

Resposta

As expressões desenvolvidas são:
cos 3a = 4 cos^3 a - 3 cos a
sin 3a = 3 sin a - 4 sin^3 a

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