Considere as expressões trigonométricas abaixo: cos(a+b) = cosa.cosb – sena.senb e sen(a+b) = sena.cosb + senb.cosa Para calcular o cos2a e o sen2a, basta fazer a = b e, a partir das expressões trigonométricas, obtêm-se: cos2a = cos(a+a) = cos2a – sen2a e sen2a = sem(a+a) = 2sena.cosa De modo semelhante ao cálculo acima, desenvolva o cos3a e o sen3a.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício para desenvolver as expressões trigonométricas de
e
usando as fórmulas de soma de ângulos que a gente já conhece. Vamos precisar usar as identidades trigonométricas de
e
, além das expressões que já temos para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas de soma para cosseno e seno:
Passo 3
Para encontrar
, podemos pensar em
como
. Assim, aplicamos a fórmula do cosseno da soma:
Passo 4
Já sabemos que:
Vamos substituir essas expressões na equação de
:
Passo 5
Agora, vamos simplificar:
Passo 6
Sabemos que
pela identidade pitagórica. Vamos substituir:
Passo 7
Distribuindo o
:
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Usamos a fórmula do seno da soma:
Passo 9
Substituindo as expressões conhecidas:
Passo 10
Simplificando:
Passo 11
Substituindo
por
:
Passo 12
Somando os termos semelhantes:
Resposta
As expressões desenvolvidas são: