Considere F um campo vetorial contínuo, C uma curva lisa e orientada e S uma superfície. Com base nessas informações e em informações relacionadas ao Teorema de Stokes e aplicações de integrais de linha e de superfície, classifique os itens que seguem em verdadeiro (V) ou falso (F).
I. O teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície sobre S da componente normal do rotacional de F.
II. O trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula ao longo de uma curva C é dado pela seguinte integral ϕ equals integral integral subscript bold S bold italic F bullet bold n d S.
III. O volume líquido exato de fluido por unidade de tempo que atravessa uma superfície S no sentido de sua orientação n é dado pela integral integral subscript C bold F bullet d bold r equals integral subscript C bold F bullet bold T d s Assinale a alternativa que contém a sequência correta. Escolha uma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o Teorema de Stokes e precisa classificar três afirmações como verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos revisar o que é o Teorema de Stokes, como funcionam as integrais de linha e de superfície, e entender as propriedades dos campos vetoriais. Vamos precisar usar conceitos como rotacional de um campo vetorial, componentes tangenciais e normais, além de entender o que significa trabalho realizado por um campo de forças e fluxo de fluido.

Passo 2

Item I: O teorema de Stokes nos diz que a integral de linha em torno da curva fronteira de S da componente tangencial de F é igual à integral de superfície sobre S da componente normal do rotacional de F.
Vamos analisar isso. O Teorema de Stokes relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao redor da borda de uma superfície S com a integral de superfície do rotacional de F sobre S. Em termos matemáticos:
ointpartial S F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui:
  • ointpartial S F cdot dr é a integral de linha da componente tangencial de F ao longo da curva fronteira de S.
  • integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS é a integral de superfície da componente normal do rotacional de F sobre S.
Portanto, a afirmação está correta.
Conclusão do Item I: Verdadeiro (V).

Passo 3

Item II: O trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula ao longo de uma curva C é dado pela seguinte integral $ \phi = \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , dS $.
Vamos entender o que significa trabalho realizado por um campo de forças. O trabalho é dado pela integral de linha da força ao longo do caminho percorrido:
phi = integral duplaS F cdot n , dS
A expressão fornecida no item II, $ \iint_{S} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} , dS $, representa o fluxo do campo vetorial F através da superfície S, não o trabalho realizado. Portanto, há uma confusão entre trabalho (integral de linha) e fluxo (integral de superfície).
Conclusão do Item II: Falso (F).

Passo 4

Item III: O volume líquido exato de fluido por unidade de tempo que atravessa uma superfície S no sentido de sua orientação n é dado pela integral $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} , ds $.
Aqui, estamos falando sobre o fluxo volumétrico de um fluido passando por uma superfície. O fluxo é dado pela integral de superfície do produto escalar do campo de velocidade F pela normal n:
integralC F cdot dr = integralC F cdot T , ds
A expressão fornecida no item III, $ \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathbf{T} , ds $, é novamente uma integral de linha, onde T é o vetor tangente à curva C. Isso representa o trabalho realizado ao longo da curva, não o fluxo volumétrico através da superfície. Portanto, há uma confusão semelhante ao item II.
Conclusão do Item III: Falso (F).

Resposta

A sequência correta é: V, F, F.

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