O Teorema de Stokes pode ser visto como uma extensão do Teorema de Green, em que a principal diferença reside no número de variáveis envolvidas: enquanto o Teorema de Green se aplica a campos vetoriais bidimensionais, o Teorema de Stokes aborda campos vetoriais tridimensionais, enfatizando a relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e uma integral de superfície sobre a superfície delimitada por essa curva. Dessa forma, para a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (2x², 3x, y²) onde C é o paraboloide z = 16 - x² - y² e o plano z = 0 orientado para baixo, determine:
a) O rotacional do campo vetorial F.
b) O vetor normal sobre a superfície.
c) O produto escalar do rotacional e do vetor normal.
d) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superfície.
e) A resolução da integral pelo método de Stokes. Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema de Stokes juntos! Basicamente, o enunciado nos pede para analisar um campo vetorial tridimensional e usar o Teorema de Stokes para relacionar uma integral de linha com uma integral de superfície. Para isso, vamos precisar entender conceitos como rotacional, vetor normal, produto escalar, e mudança para coordenadas polares. Vamos por partes!

Passo 2

a) Encontrar o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (2x², 3x, y²).
O rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado por:
rot , F = nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
partial Rpartial y - partial Qpartial z = partial (y²)partial y - partial (3x)partial z = 2y - 0 = 2y ²
  • Componente j:
partial Ppartial z - partial Rpartial x = partial (2x²)partial z - partial (y²)partial x = 0 - 0 = 0 ²²
  • Componente k:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = partial (3x)partial x - partial (2x²)partial y = 3 - 0 = 3 ²
Então, o rotacional de F é:
rot , F = (2y, , 0, , 3)

Passo 3

b) Determinar o vetor normal sobre a superfície.
A superfície está limitada pela curva C, que é a interseção do paraboloide z = 16 - x² - y² com o plano z = 0. Isso forma um círculo no plano z = 0 com raio 4 (pois 16 - x² - y² = 0 ⇒ x² + y² = 16).
Vamos escolher a superfície S como o disco no plano z = 0, orientado para baixo (conforme o enunciado). O vetor normal para o plano z = 0 é simplesmente o vetor na direção z, mas como está orientado para baixo, o vetor normal será:
n = (0, , 0, , -1)

Passo 4

c) Calcular o produto escalar do rotacional e do vetor normal.
Já temos:
rot , F = (2y, , 0, , 3)
n = (0, , 0, , -1)
O produto escalar é:
rot , F cdot n = (2y)(0) + (0)(0) + (3)(-1) = 0 + 0 - 3 = -3

Passo 5

d) Montar a integral dupla usando o resultado do item C e mudar para coordenadas polares.
A integral dupla sobre a superfície S é:
integral duplaS (rot , F cdot n) , dS = integral duplaS (-3) , dS
Como S é o disco no plano z = 0 com raio 4, em coordenadas polares (r, θ), a área diferencial é:
dS = r , dr , dtheta
Então, a integral se torna:
integral duplaS (-3) , dS = -3 integral0^2pi integral0^4 r , dr , dtheta

Passo 6

e) Resolver a integral pelo método de Stokes.
Vamos calcular a integral dupla que montamos no passo anterior:
-3 integral0^2pi integral0^4 r , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral0^4 r , dr = [ r²2 ]0^4 = 162 - 0 = 8 ²
Agora, integramos em relação a θ:
-3 integral0^2pi 8 , dtheta = -24 [ theta ]0^2pi = -24 (2pi - 0) = -48pi

Resposta

A integral pelo método de Stokes resulta em -48π.

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