O Teorema de Stokes pode ser visto como uma extensão do Teorema de Green, em que a principal diferença reside no número de variáveis envolvidas: enquanto o Teorema de Green se aplica a campos vetoriais bidimensionais, o Teorema de Stokes aborda campos vetoriais tridimensionais, enfatizando a relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e uma integral de superfície sobre a superfície delimitada por essa curva. Dessa forma, para a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (2x², 3x, y²) onde C é o paraboloide z = 16 - x² - y² e o plano z = 0 orientado para baixo, determine:
a) O rotacional do campo vetorial F.
b) O vetor normal sobre a superfície.
c) O produto escalar do rotacional e do vetor normal.
d) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superfície.
e) A resolução da integral pelo método de Stokes. Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.
a) O rotacional do campo vetorial F.
b) O vetor normal sobre a superfície.
c) O produto escalar do rotacional e do vetor normal.
d) A montagem da integral dupla usando o resultado do item C e a mudança para coordenadas polares da superfície.
e) A resolução da integral pelo método de Stokes. Observação: apresentar todo o raciocínio e desenvolvimento na resolução da questão.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Teorema de Stokes juntos! Basicamente, o enunciado nos pede para analisar um campo vetorial tridimensional e usar o Teorema de Stokes para relacionar uma integral de linha com uma integral de superfície. Para isso, vamos precisar entender conceitos como rotacional, vetor normal, produto escalar, e mudança para coordenadas polares. Vamos por partes!
Passo 2
a) Encontrar o rotacional do campo vetorial F(x, y, z) = (2x², 3x, y²).
O rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado por:
Vamos calcular cada componente:
- Componente i:
- Componente j:
- Componente k:
Então, o rotacional de F é:
Passo 3
b) Determinar o vetor normal sobre a superfície.
A superfície está limitada pela curva C, que é a interseção do paraboloide z = 16 - x² - y² com o plano z = 0. Isso forma um círculo no plano z = 0 com raio 4 (pois 16 - x² - y² = 0 ⇒ x² + y² = 16).
Vamos escolher a superfície S como o disco no plano z = 0, orientado para baixo (conforme o enunciado). O vetor normal para o plano z = 0 é simplesmente o vetor na direção z, mas como está orientado para baixo, o vetor normal será:
Passo 4
c) Calcular o produto escalar do rotacional e do vetor normal.
Já temos:
O produto escalar é:
Passo 5
d) Montar a integral dupla usando o resultado do item C e mudar para coordenadas polares.
A integral dupla sobre a superfície S é:
Como S é o disco no plano z = 0 com raio 4, em coordenadas polares (r, θ), a área diferencial é:
Então, a integral se torna:
Passo 6
e) Resolver a integral pelo método de Stokes.
Vamos calcular a integral dupla que montamos no passo anterior:
Primeiro, integramos em relação a r:
Agora, integramos em relação a θ:
Resposta
A integral pelo método de Stokes resulta em -48π.