(a) Considere um fluido cuja densidade de massa rho varia com a altura y acima do nível do mar. Use a Eq. 18.6 (Mazur) de líquidos estacionários: P1+rho g y1=P2+rho g y2 para obter uma expressão que mostra como d P (mudança na pressão ao longo de uma coluna de fluido de altura infinitesimal d y ) varia com y. (b) Usando a simplificação de que a densidade de massa do ar em qualquer altura y acima do nível do mar é proporcional à pressão atmosférica naquela altura, integre a equação diferencial que você encontrou na parte a) para obter uma expressão que mostra como a pressão atmosférica varia com altura y acima do nível do mar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de hidrostática, que é a parte da física que estuda os fluidos em repouso. Precisamos entender como a pressão varia com a altura em um fluido cuja densidade muda conforme a altura. Vamos usar a equação fornecida (Eq. 18.6 de Mazur) e, na segunda parte, vamos considerar que a densidade do ar é proporcional à pressão atmosférica nessa altura.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A equação que temos é:
P1 + rho g y1 = P2 + rho g y2
Essa é a equação da hidrostática para líquidos estacionários, onde:
  • P + rho g y = (P + dP) + rho g (y + dy) é a pressão,
  • P + rho g y = P + dP + rho g y + rho g dy é a densidade do fluido,
  • 0 = dP + rho g dy é a aceleração da gravidade,
  • dP = -rho g dy é a altura.
Queremos descobrir como uma mudança infinitesimal na pressão ( ) está relacionada a uma pequena mudança na altura ( ).
Para isso, vamos considerar uma altura muito pequena e assumir que a pressão muda de para . Substituindo na equação:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Então:
Essa é a relação que mostra como varia com .

Passo 3

Agora, na parte (b), nos dizem que a densidade do ar é proporcional à pressão atmosférica nessa altura. Podemos escrever isso como:
rho = k P
onde dP = -k P g dy é uma constante de proporcionalidade.
Substituindo isso na equação que encontramos:
dPP = -k g dy
Isso dá uma equação diferencial que relaciona integral 1P dP = -k g integral dy e ln P = -k g y + C . Para resolver, vamos separar as variáveis:
ln P0 = C
Agora, integramos ambos os lados:
ln P = -k g y + ln P0
Isso resulta em:
P = P0 e^-k g y
Onde é a constante de integração. Para encontrar , consideramos que na altura , a pressão é :
Então, substituindo:
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A pressão atmosférica varia com a altura segundo a expressão:
P(y) = P0 , e^-k g y
onde:
  • é a pressão ao nível do mar,
  • é a constante de proporcionalidade da densidade,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura acima do nível do mar.

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