(a) Considere um fluido cuja densidade de massa
varia com a altura y acima do nível do mar. Use a Eq. 18.6 (Mazur) de líquidos estacionários:
para obter uma expressão que mostra como
(mudança na pressão ao longo de uma coluna de fluido de altura infinitesimal
) varia com
. (b) Usando a simplificação de que a densidade de massa do ar em qualquer altura
acima do nível do mar é proporcional à pressão atmosférica naquela altura, integre a equação diferencial que você encontrou na parte a) para obter uma expressão que mostra como a pressão atmosférica varia com altura
acima do nível do mar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de hidrostática, que é a parte da física que estuda os fluidos em repouso. Precisamos entender como a pressão varia com a altura em um fluido cuja densidade muda conforme a altura. Vamos usar a equação fornecida (Eq. 18.6 de Mazur) e, na segunda parte, vamos considerar que a densidade do ar é proporcional à pressão atmosférica nessa altura.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A equação que temos é:
Essa é a equação da hidrostática para líquidos estacionários, onde:
-
é a pressão, -
é a densidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Queremos descobrir como uma mudança infinitesimal na pressão (
) está relacionada a uma pequena mudança na altura (
).
Para isso, vamos considerar uma altura muito pequena
e assumir que a pressão muda de
para
. Substituindo na equação:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então:
Essa é a relação que mostra como
varia com
.
Passo 3
Agora, na parte (b), nos dizem que a densidade do ar é proporcional à pressão atmosférica nessa altura. Podemos escrever isso como:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Substituindo isso na equação que encontramos:
Isso dá uma equação diferencial que relaciona
e
. Para resolver, vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, consideramos que na altura
, a pressão é
:
Então, substituindo:
Podemos reescrever isso como:
Resposta
A pressão atmosférica varia com a altura segundo a expressão:
onde:
-
é a pressão ao nível do mar, -
é a constante de proporcionalidade da densidade, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura acima do nível do mar.