Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do domínio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
neste intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com duas funções:
e
. A gente precisa descobrir qual é o maior intervalo onde
é maior ou igual a
e, nesse intervalo, calcular a área entre os gráficos dessas duas funções. Vamos usar conceitos de domínio de funções, interseção de gráficos e cálculo de integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio comum das duas funções. Para
, o domínio é
porque não dá pra tirar raiz de número negativo. Já para
, o domínio é todo número real, mas como queremos o domínio comum, vamos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde
. Isso significa resolver a desigualdade:
Para resolver isso, vamos igualar as duas funções e encontrar os pontos de interseção:
Passo 4
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 5
Esses pontos (
e
) são onde as funções se cruzam. Para saber em qual intervalo
, vamos testar um valor entre 0 e 4, por exemplo,
:
Então, no intervalo
,
.
Passo 6
Agora que sabemos que o intervalo é de 0 a 4, vamos calcular a área entre os gráficos das funções nesse intervalo. A área
é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Integrando cada parte:
Então:
Passo 8
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Ambas as expressões são 0.
Então:
Resposta
A área entre os gráficos de
e
no intervalo de
a
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Equações de Bernoulli são equações do tipo
Note que se
, a equação acima não é linear.
a. Mostre que se , a substituição
leva a uma equação linear para
. Obtenha a equação para
.
b. Usando o item anterior, resolva a equação
a. Mostre que se
b. Usando o item anterior, resolva a equação
Determine o domínio
.
Às 13 horas, um navio
está 50 km a oeste do navio
. O navio
está navegando para o norte a
, e o navio
está indo para o leste a
. Qual a velocidade em que eles se afastam às 16 horas? (suponha uma aproximação plana para a região onde estão os navios).
Calcule as seguintes integrais impróprias