Considere as funções f(x) = raiz(x) e g(x) = x/2. Estabeleça o maior intervalo do domínio comum a ambas tal que
f(x) ≥ g(x)
Calcule a área entre os gráficos de f(x) e g(x) neste intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com duas funções: e . A gente precisa descobrir qual é o maior intervalo onde é maior ou igual a e, nesse intervalo, calcular a área entre os gráficos dessas duas funções. Vamos usar conceitos de domínio de funções, interseção de gráficos e cálculo de integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio comum das duas funções. Para , o domínio é porque não dá pra tirar raiz de número negativo. Já para , o domínio é todo número real, mas como queremos o domínio comum, vamos considerar .

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde . Isso significa resolver a desigualdade:
Para resolver isso, vamos igualar as duas funções e encontrar os pontos de interseção:

Passo 4

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Então, as soluções são e .

Passo 5

Esses pontos ( e ) são onde as funções se cruzam. Para saber em qual intervalo , vamos testar um valor entre 0 e 4, por exemplo, :
Então, no intervalo , .

Passo 6

Agora que sabemos que o intervalo é de 0 a 4, vamos calcular a área entre os gráficos das funções nesse intervalo. A área é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Integrando cada parte:
Então:

Passo 8

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Ambas as expressões são 0.
Então:

Resposta

A área entre os gráficos de e no intervalo de a é unidades quadradas.

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