Equações de Bernoulli são equações do tipo
y' + p(x) y = q(x) y^n, n em Z
Note que se n não pertence a {0, 1}, a equação acima não é linear.
a. Mostre que se n != 0, 1, a substituição v = y^(1-n) leva a uma equação linear para v. Obtenha a equação para v.
b. Usando o item anterior, resolva a equação
y' + 1/x * y = x * y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Equações de Bernoulli, que têm a forma:
O problema está dividido em duas partes:
a. Mostrar que, se , a substituição transforma a equação em uma equação linear para e encontrar essa nova equação.
b. Usar o resultado da parte a para resolver a equação específica:
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma equação de Bernoulli em uma equação linear usando uma substituição apropriada.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a. Temos uma equação de Bernoulli com e queremos fazer a substituição .
Vamos começar derivando em relação a :
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar em relação a e depois multiplicamos por .

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação original de Bernoulli para expressar :
Substituindo na expressão de :
Lembre-se que , então .

Passo 4

Substituindo por na expressão de :
Essa é uma equação linear na forma padrão:
onde e .

Passo 5

Então, mostramos que a substituição transforma a equação de Bernoulli original em uma equação linear para :
Isso conclui a parte a do exercício.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b, onde precisamos resolver a equação específica:
Aqui, identificamos que , e (já que ).

Passo 7

Usando o resultado da parte a, fazemos a substituição .
Vamos calcular :
Rearranjando:

Passo 8

Substituindo na equação original:
Dividindo todos os termos por (já que ):
Rearranjando:

Passo 9

Agora temos uma equação linear para :
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :

Passo 10

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
A parte esquerda agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 11

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação dada é:
onde é a constante de integração.

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