Equações de Bernoulli são equações do tipo
Note que se
, a equação acima não é linear.
a. Mostre que se
, a substituição
leva a uma equação linear para
. Obtenha a equação para
.
b. Usando o item anterior, resolva a equação
a. Mostre que se
b. Usando o item anterior, resolva a equação
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com Equações de Bernoulli, que têm a forma:
O problema está dividido em duas partes:
a. Mostrar que, se
, a substituição
transforma a equação em uma equação linear para
e encontrar essa nova equação.
b. Usar o resultado da parte a para resolver a equação específica:
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar uma equação de Bernoulli em uma equação linear usando uma substituição apropriada.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a. Temos uma equação de Bernoulli com
e queremos fazer a substituição
.
Vamos começar derivando
em relação a
:
Aqui usamos a regra da cadeia para derivar
em relação a
e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação original de Bernoulli para expressar
:
Substituindo
na expressão de
:
Lembre-se que
, então
.
Passo 4
Substituindo
por
na expressão de
:
Essa é uma equação linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 5
Então, mostramos que a substituição
transforma a equação de Bernoulli original em uma equação linear para
:
Isso conclui a parte a do exercício.
Passo 6
Agora, vamos para a parte b, onde precisamos resolver a equação específica:
Aqui, identificamos que
,
e
(já que
).
Passo 7
Usando o resultado da parte a, fazemos a substituição
.
Vamos calcular
:
Rearranjando:
Passo 8
Substituindo
na equação original:
Dividindo todos os termos por
(já que
):
Rearranjando:
Passo 9
Agora temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Passo 10
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
A parte esquerda agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 11
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação dada é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o domínio
.
Esboce a imagem das seguintes curvas
.
Considere as funções
e
. Estabeleça o maior intervalo do domínio comum a ambas tal que
Calcule a área entre os gráficos de
neste intervalo.
Às 13 horas, um navio
está 50 km a oeste do navio
. O navio
está navegando para o norte a
, e o navio
está indo para o leste a
. Qual a velocidade em que eles se afastam às 16 horas? (suponha uma aproximação plana para a região onde estão os navios).