Considere as linhas abaixo, linha 1 condutor 3/0 ASCR e linha 2 condutor 500,000 CM, 37-strand, hard-draw aluminium, 61 % condutividade. (distâncias em pés)
a) Calcule a matriz de impedância de fase da linha 1, assumindo comprimento da linha igual a 56,33 km
b) Calcule a matriz de impedância de fase da linha 2, assumindo comprimento da linha igual a 80,47 km (ignore o cabo para-raios)
c) Calcule a matriz de impedâncias para as linhas 1 e 2 com as seguintes configurações de transposição:
Fração da linha Configuração
f 1=0.20 a-b-c
f 2=0.80 b-c-a
f 3=0.00 c-a-b
Fração da linha Configuração
:—: :—:
f 1=0.33 a-b-c
f 2=0.33 c-a-b
f 3=0.33 b-c-a
d) Comente os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transmissão de energia elétrica, mais especificamente sobre o cálculo da matriz de impedância de fase de duas linhas de transmissão diferentes. Vamos precisar entender sobre condutores, impedância, e como calcular essa matriz usando as características fornecidas das linhas. Vamos focar nas propriedades dos condutores, suas resistividades, reatâncias e como o comprimento da linha influencia na impedância total.

Passo 2

Parte a: Calcular a matriz de impedância de fase da linha 1
Primeiro, vamos entender o que é a impedância de fase. A impedância de fase ( Zfase = R + jX ) é composta pela resistência ( R = rho LA ) e reatância ( X = 2pi f L cdot Lg ) da linha:
56,33 km = 56,33 times 3280.84 pés approx 184,885 pés
Para calcular e , precisamos das seguintes fórmulas:
  • Resistência ( ):
onde:
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento da linha,
  • é a área da seção transversal do condutor.
  • Reatância ( ):
onde:
  • é a frequência,
  • é a indutância por unidade de comprimento.
Dados da linha 1:
  • Condutor: 3/0 ASCR
  • Comprimento: 56,33 km
Primeiro, precisamos converter o comprimento para pés, já que as distâncias estão nesse sistema:
éé
Agora, precisamos dos valores de e para o condutor 3/0 ASCR. Supondo que temos esses valores (caso contrário, eles deveriam ser fornecidos ou encontrados em tabelas padrão), podemos proceder com o cálculo.

Passo 3

Calculando a Resistência ( 184,885 pés times 0.3048 mpé approx 56.33 , km = 56,330 , m ):
Supondo que a resistividade ( R = rho LA = 2.82 times 10^-8 Omega cdot m times 56,330 , m1.63 times 10^-4 , m^2 approx 0.0976 , Omega ) do alumínio seja , e que a área da seção transversal ( ) para um condutor 3/0 ASCR seja :
Convertendo o comprimento para metros:
éé
Então,

Passo 4

Calculando a Reatância ( X = 2pi f L cdot Lg = 2pi times 60 times 56,330 times 0.2 times 10^-3 approx 4.25 , Omega ):
A reatância depende da indutância por unidade de comprimento ( ) da linha. Supondo e frequência :

Passo 5

Montando a Matriz de Impedância de Fase:
A matriz de impedância de fase para uma linha de transmissão equilibrada (trifásica) pode ser representada como uma matriz diagonal, onde cada fase tem sua própria impedância:
Zfase = R + jX & 0 & 0 0 & R + jX & 0 0 & 0 & R + jX
Substituindo os valores calculados:
Zfase = 0.0976 + j4.25 & 0 & 0 0 & 0.0976 + j4.25 & 0 0 & 0 & 0.0976 + j4.25 , Omega

Passo 6

Resposta Final:
A matriz de impedância de fase da linha 1 é:
Zfase = 0.0976 + j4.25 & 0 & 0 0 & 0.0976 + j4.25 & 0 0 & 0 & 0.0976 + j4.25 , Omega

Passo 7

Parte b: Calcular a matriz de impedância de fase da linha 2
Vamos repetir o processo para a linha 2.
Dados da linha 2:
  • Condutor: 500,000 CM, 37-strand, hard-drawn alumínio, 61% condutividade
  • Comprimento: 80,47 km
Primeiro, converter o comprimento para metros:
80.47 km = 80,470 , m
A condutividade é 61%, então a resistividade efetiva ( rhoefetiva = rhoalumínio / 0.61 approx 2.82 times 10^-8 / 0.61 approx 4.62 times 10^-8 , Omega cdot m ) será:
A = 500,000 , CM = 500,000 times 5.067 times 10^-7 , m^2 approx 0.253 , m^2 í
A área da seção transversal ( R = rhoefetiva LA = 4.62 times 10^-8 Omega cdot m times 80,470, m0.253, m^2 approx 1.47 , Omega ) para 500,000 CM (circular mils) é:
X = 2pi times 60 times 80,470 times 0.2 times 10^-3 approx 6.07 , Omega
Calculando Zfase = 1.47 + j6.07 & 0 & 0 0 & 1.47 + j6.07 & 0 0 & 0 & 1.47 + j6.07 , Omega :
Calculando :
Assumindo e :
Montando a Matriz de Impedância de Fase:

Passo 8

Resposta Final:
A matriz de impedância de fase da linha 2 é:
Zfase = 1.47 + j6.07 & 0 & 0 0 & 1.47 + j6.07 & 0 0 & 0 & 1.47 + j6.07 , Omega

Passo 9

Parte c: Calcular a matriz de impedâncias com configurações de transposição
A transposição de linhas é uma técnica usada para balancear as impedâncias entre as fases em linhas longas. As frações Ztotal = f1 Za-b-c + f2 Zb-c-a + f3 Zc-a-b indicam quanto do comprimento total da linha está em cada configuração de transposição.
Vamos calcular a impedância efetiva considerando as diferentes configurações.
Configurações dadas:
Para linha 1 e linha 2, temos diferentes frações com diferentes sequências de fases. A impedância total é a média ponderada das impedâncias em cada configuração.
f1 = 0.20, Z1 = Zfase (linha 1)
Como as configurações são rotativas, para linhas balanceadas, a impedância em cada configuração será a mesma. Portanto, a matriz de impedância permanece diagonal, mas com valores médios calculados.
Exemplo para uma configuração:
Para a primeira configuração:
f2 = 0.80, Z2 = Zfase (linha 2)
f3 = 0.00, Z3 = 0
Ztotal = 0.20 times Z1 + 0.80 times Z2
Então,
Ztotal = 0.20 times 0.0976 + j4.25 & 0 & 0 0 & 0.0976 + j4.25 & 0 0 & 0 & 0.0976 + j4.25 + 0.80 times 1.47 + j6.07 & 0 & 0 0 & 1.47 + j6.07 & 0 0 & 0 & 1.47 + j6.07
Substituindo as matrizes:
Ztotal = 0.20 times (0.0976 + j4.25) + 0.80 times (1.47 + j6.07) & 0 & 0 0 & 0.20 times (0.0976 + j4.25) + 0.80 times (1.47 + j6.07) & 0 0 & 0 & 0.20 times (0.0976 + j4.25) + 0.80 times (1.47 + j6.07)
Calculando:
= 0.0195 + j0.85 + 1.176 + j4.856 & 0 & 0 0 & 0.0195 + j0.85 + 1.176 + j4.856 & 0 0 & 0 & 0.0195 + j0.85 + 1.176 + j4.856
= 1.1955 + j5.706 & 0 & 0 0 & 1.1955 + j5.706 & 0 0 & 0 & 1.1955 + j5.706 , Omega
Fazemos o mesmo para as outras configurações.

Passo 10

Resposta Final:
Para as diferentes configurações de transposição, a matriz de impedância total é:
  1. Configuração 1 (f₁=0.20, f₂=0.80, f₃=0.00):
Ztotal = 1.20 + j5.71 & 0 & 0 0 & 1.20 + j5.71 & 0 0 & 0 & 1.20 + j5.71 , Omega
  1. Configuração 2 (f₁=0.33, f₂=0.33, f₃=0.33):
Ztotal = 0.20 times Z1 + 0.33 times Z2 + 0.33 times Z3 & 0 & 0 0 & idem & 0 0 & 0 & idem
Calculando:
Ztotal = (0.20 times 0.0976) + (0.33 times 1.47) + (0.33 times 1.47) + j[(0.20 times 4.25) + (0.33 times 6.07) + (0.33 times 6.07)] & 0 & 0 0 & idem & 0 0 & 0 & idem
= 0.0195 + 0.4851 + 0.4851 + j(0.85 + 2.00 + 2.00) & 0 & 0 0 & idem & 0 0 & 0 & idem
= 0.9897 + j4.85 & 0 & 0 0 & 0.9897 + j4.85 & 0 0 & 0 & 0.9897 + j4.85 , Omega

Passo 11

Parte d: Comentar os resultados
Observando os resultados obtidos, percebemos que a matriz de impedância varia conforme a configuração de transposição da linha. A transposição ajuda a equilibrar as impedâncias entre as fases, reduzindo as diferenças e melhorando a simetria do sistema. Na primeira configuração, onde a maior parte da linha está em uma única configuração de transposição, a impedância total é mais alta. Já na segunda configuração, com transposição balanceada (f₁=0.33 para cada configuração), a impedância total é mais equilibrada e baixa, o que é desejável para minimizar perdas e melhorar a eficiência da transmissão.

Resposta

Conclusão: Calculamos as matrizes de impedância de fase para as linhas 1 e 2, considerando diferentes configurações de transposição. A transposição equilibrada mostrou-se eficaz em reduzir e balancear as impedâncias, melhorando a eficiência do sistema de transmissão.

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