Considere as linhas abaixo, linha 1 condutor 3/0 ASCR e linha 2 condutor 500,000 CM, 37-strand, hard-draw aluminium, condutividade. (distâncias em pés)
a) Calcule a matriz de impedância de fase da linha 1, assumindo comprimento da linha igual a
b) Calcule a matriz de impedância de fase da linha 2, assumindo comprimento da linha igual a (ignore o cabo para-raios)
c) Calcule a matriz de impedâncias para as linhas 1 e 2 com as seguintes configurações de transposição:
Fração da linha
Configuração
Fração da linha
Configuração
:—:
:—:
d) Comente os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre transmissão de energia elétrica, mais especificamente sobre o cálculo da matriz de impedância de fase de duas linhas de transmissão diferentes. Vamos precisar entender sobre condutores, impedância, e como calcular essa matriz usando as características fornecidas das linhas. Vamos focar nas propriedades dos condutores, suas resistividades, reatâncias e como o comprimento da linha influencia na impedância total.
Passo 2
Parte a: Calcular a matriz de impedância de fase da linha 1
Primeiro, vamos entender o que é a impedância de fase. A impedância de fase () é composta pela resistência () e reatância () da linha:
Para calcular e , precisamos das seguintes fórmulas:
Resistência ():
onde:
é a resistividade do material,
é o comprimento da linha,
é a área da seção transversal do condutor.
Reatância ():
onde:
é a frequência,
é a indutância por unidade de comprimento.
Dados da linha 1:
Condutor: 3/0 ASCR
Comprimento: 56,33 km
Primeiro, precisamos converter o comprimento para pés, já que as distâncias estão nesse sistema:
Agora, precisamos dos valores de e para o condutor 3/0 ASCR. Supondo que temos esses valores (caso contrário, eles deveriam ser fornecidos ou encontrados em tabelas padrão), podemos proceder com o cálculo.
Passo 3
Calculando a Resistência ():
Supondo que a resistividade () do alumínio seja , e que a área da seção transversal () para um condutor 3/0 ASCR seja :
Convertendo o comprimento para metros:
Então,
Passo 4
Calculando a Reatância ():
A reatância depende da indutância por unidade de comprimento () da linha. Supondo e frequência :
Passo 5
Montando a Matriz de Impedância de Fase:
A matriz de impedância de fase para uma linha de transmissão equilibrada (trifásica) pode ser representada como uma matriz diagonal, onde cada fase tem sua própria impedância:
Substituindo os valores calculados:
Passo 6
Resposta Final:
A matriz de impedância de fase da linha 1 é:
Passo 7
Parte b: Calcular a matriz de impedância de fase da linha 2
Vamos repetir o processo para a linha 2.
Dados da linha 2:
Condutor: 500,000 CM, 37-strand, hard-drawn alumínio, 61% condutividade
Comprimento: 80,47 km
Primeiro, converter o comprimento para metros:
A condutividade é 61%, então a resistividade efetiva () será:
í
A área da seção transversal () para 500,000 CM (circular mils) é:
Calculando :
Calculando :
Assumindo e :
Montando a Matriz de Impedância de Fase:
Passo 8
Resposta Final:
A matriz de impedância de fase da linha 2 é:
Passo 9
Parte c: Calcular a matriz de impedâncias com configurações de transposição
A transposição de linhas é uma técnica usada para balancear as impedâncias entre as fases em linhas longas. As frações indicam quanto do comprimento total da linha está em cada configuração de transposição.
Vamos calcular a impedância efetiva considerando as diferentes configurações.
Configurações dadas:
Para linha 1 e linha 2, temos diferentes frações com diferentes sequências de fases. A impedância total é a média ponderada das impedâncias em cada configuração.
Como as configurações são rotativas, para linhas balanceadas, a impedância em cada configuração será a mesma. Portanto, a matriz de impedância permanece diagonal, mas com valores médios calculados.
Exemplo para uma configuração:
Para a primeira configuração:
Então,
Substituindo as matrizes:
Calculando:
Fazemos o mesmo para as outras configurações.
Passo 10
Resposta Final:
Para as diferentes configurações de transposição, a matriz de impedância total é:
Configuração 1 (f₁=0.20, f₂=0.80, f₃=0.00):
Configuração 2 (f₁=0.33, f₂=0.33, f₃=0.33):
Calculando:
Passo 11
Parte d: Comentar os resultados
Observando os resultados obtidos, percebemos que a matriz de impedância varia conforme a configuração de transposição da linha. A transposição ajuda a equilibrar as impedâncias entre as fases, reduzindo as diferenças e melhorando a simetria do sistema. Na primeira configuração, onde a maior parte da linha está em uma única configuração de transposição, a impedância total é mais alta. Já na segunda configuração, com transposição balanceada (f₁=0.33 para cada configuração), a impedância total é mais equilibrada e baixa, o que é desejável para minimizar perdas e melhorar a eficiência da transmissão.
Resposta
Conclusão: Calculamos as matrizes de impedância de fase para as linhas 1 e 2, considerando diferentes configurações de transposição. A transposição equilibrada mostrou-se eficaz em reduzir e balancear as impedâncias, melhorando a eficiência do sistema de transmissão.