Considere um oscilador que obedece à distribuição de BoseEinstein. Com a equação de
Planck, encontre a energia média do oscilador para
(a) T=10 hf / k(b)
(b) T=hf / k
©© T=0,1 hf / k.
Compare os resultados com o teorema da Equipartição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um oscilador que segue a distribuição de Bose-Einstein. O objetivo é encontrar a energia média desse oscilador em três temperaturas diferentes usando a equação de Planck. Além disso, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de Bose-Einstein, a equação de Planck e o teorema da Equipartição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a distribuição de Bose-Einstein. Ela descreve a distribuição de partículas que não obedecem ao princípio da exclusão de Pauli, ou seja, múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. A energia média lang<= E rang<= de um oscilador quântico nessa distribuição é dada por:
lang<= E rang<= = hbar omegae^hbar omega / kB T - 1
Aqui, hbar omega é a energia quântica do oscilador, kB é a constante de Boltzmann, e T é a temperatura.

Passo 3

A equação de Planck que usamos aqui está relacionada à energia dos quanta de luz, mas no contexto do oscilador quântico, relaciona-se com a energia dos modos vibracionais. Então, vamos usar essa equação para calcular a energia média em cada temperatura fornecida.

Passo 4

Vamos calcular a energia média para cada caso:
(a) T = 10 , hbar omegakB
Substituindo na fórmula:
lang<= E rang<= = hbar omegae^hbar omega / (kB cdot 10 hbar omega / kB) - 1 = hbar omegae^1/10 - 1
Calculando e^1/10 approx 1,10517:
lang<= E rang<= approx hbar omega1,10517 - 1 approx hbar omega0,10517 approx 9,512 , hbar omega
(b) T = hbar omegakB
Substituindo na fórmula:
lang<= E rang<= = hbar omegae^1 - 1 = hbar omegae - 1
Calculando e approx 2,71828:
lang<= E rang<= approx hbar omega2,71828 - 1 approx hbar omega1,71828 approx 0,582 , hbar omega
© T = 0,1 , hbar omegakB
Substituindo na fórmula:
lang<= E rang<= = hbar omegae^10 - 1
Calculando e^10 approx 22026,4658:
lang<= E rang<= approx hbar omega22026,4658 - 1 approx hbar omega22025,4658 approx 4,545 times 10^-5 , hbar omega

Passo 5

Agora, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição da Energia. Esse teorema afirma que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade contribui com 12 kB T para a energia média. Para um oscilador harmônico, que tem duas coordenadas (posição e momento), a energia média total seria kB T.
Vamos ver:
  • (a) T = 10 , hbar omegakB: A energia média calculada usando Bose-Einstein é 9,512 , hbar omega. Se compararmos com o teorema da Equipartição, teríamos kB T = 10 , hbar omega. Os valores são bem próximos, o que faz sentido porque em altas temperaturas, a distribuição de Bose-Einstein se aproxima da distribuição clássica prevista pela Equipartição.
  • (b) T = hbar omegakB: A energia média é 0,582 , hbar omega, enquanto pela Equipartição seria 1 , hbar omega. Aqui, a energia média é menor, indicando os efeitos quânticos começam a ser relevantes.
  • © T = 0,1 , hbar omegakB: A energia média é 4,545 times 10^-5 , hbar omega, muito menor que a previsão clássica de 0,1 , hbar omega. Isso mostra que, em baixas temperaturas, os efeitos quânticos são predominantes e a Equipartição não se aplica mais.

Resposta

A energia média do oscilador seguindo a distribuição de Bose-Einstein é aproximadamente:
  • (a) 9,512 , hbar omega
  • (b) 0,582 , hbar omega
  • © 4,545 times 10^-5 , hbar omega
Comparando com o teorema da Equipartição, observamos que em altas temperaturas os resultados são similares, enquanto em temperaturas mais baixas os efeitos quânticos fazem a energia média ser menor do que a previsão clássica.

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