Considere um oscilador que obedece à distribuição de BoseEinstein. Com a equação de
Planck, encontre a energia média do oscilador para
(a)
(b)
©© .
Compare os resultados com o teorema da Equipartição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um oscilador que segue a distribuição de Bose-Einstein. O objetivo é encontrar a energia média desse oscilador em três temperaturas diferentes usando a equação de Planck. Além disso, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de Bose-Einstein, a equação de Planck e o teorema da Equipartição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a distribuição de Bose-Einstein. Ela descreve a distribuição de partículas que não obedecem ao princípio da exclusão de Pauli, ou seja, múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. A energia média de um oscilador quântico nessa distribuição é dada por:
Aqui, é a energia quântica do oscilador, é a constante de Boltzmann, e é a temperatura.

Passo 3

A equação de Planck que usamos aqui está relacionada à energia dos quanta de luz, mas no contexto do oscilador quântico, relaciona-se com a energia dos modos vibracionais. Então, vamos usar essa equação para calcular a energia média em cada temperatura fornecida.

Passo 4

Vamos calcular a energia média para cada caso:
(a)
Substituindo na fórmula:
Calculando :
(b)
Substituindo na fórmula:
Calculando :
©
Substituindo na fórmula:
Calculando :

Passo 5

Agora, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição da Energia. Esse teorema afirma que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade contribui com para a energia média. Para um oscilador harmônico, que tem duas coordenadas (posição e momento), a energia média total seria .
Vamos ver:
  • (a) : A energia média calculada usando Bose-Einstein é . Se compararmos com o teorema da Equipartição, teríamos . Os valores são bem próximos, o que faz sentido porque em altas temperaturas, a distribuição de Bose-Einstein se aproxima da distribuição clássica prevista pela Equipartição.
  • (b) : A energia média é , enquanto pela Equipartição seria . Aqui, a energia média é menor, indicando os efeitos quânticos começam a ser relevantes.
  • © : A energia média é , muito menor que a previsão clássica de . Isso mostra que, em baixas temperaturas, os efeitos quânticos são predominantes e a Equipartição não se aplica mais.

Resposta

A energia média do oscilador seguindo a distribuição de Bose-Einstein é aproximadamente:
  • (a)
  • (b)
  • ©
Comparando com o teorema da Equipartição, observamos que em altas temperaturas os resultados são similares, enquanto em temperaturas mais baixas os efeitos quânticos fazem a energia média ser menor do que a previsão clássica.

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