Considere um oscilador que obedece à distribuição de BoseEinstein. Com a equação de
Planck, encontre a energia média do oscilador para
(a)
(b)
©©
.
Compare os resultados com o teorema da Equipartição.
Planck, encontre a energia média do oscilador para
(a)
(b)
©©
Compare os resultados com o teorema da Equipartição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um oscilador que segue a distribuição de Bose-Einstein. O objetivo é encontrar a energia média desse oscilador em três temperaturas diferentes usando a equação de Planck. Além disso, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição. Para resolver isso, vamos precisar entender a distribuição de Bose-Einstein, a equação de Planck e o teorema da Equipartição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a distribuição de Bose-Einstein. Ela descreve a distribuição de partículas que não obedecem ao princípio da exclusão de Pauli, ou seja, múltiplas partículas podem ocupar o mesmo estado quântico. A energia média
de um oscilador quântico nessa distribuição é dada por:
Aqui,
é a energia quântica do oscilador,
é a constante de Boltzmann, e
é a temperatura.
Passo 3
A equação de Planck que usamos aqui está relacionada à energia dos quanta de luz, mas no contexto do oscilador quântico, relaciona-se com a energia dos modos vibracionais. Então, vamos usar essa equação para calcular a energia média em cada temperatura fornecida.
Passo 4
Vamos calcular a energia média para cada caso:
(a)
Substituindo na fórmula:
Calculando
:
(b)
Substituindo na fórmula:
Calculando
:
©
Substituindo na fórmula:
Calculando
:
Passo 5
Agora, vamos comparar esses resultados com o teorema da Equipartição da Energia. Esse teorema afirma que, em equilíbrio térmico, cada grau de liberdade contribui com
para a energia média. Para um oscilador harmônico, que tem duas coordenadas (posição e momento), a energia média total seria
.
Vamos ver:
-
(a)
: A energia média calculada usando Bose-Einstein é . Se compararmos com o teorema da Equipartição, teríamos . Os valores são bem próximos, o que faz sentido porque em altas temperaturas, a distribuição de Bose-Einstein se aproxima da distribuição clássica prevista pela Equipartição. -
(b)
: A energia média é , enquanto pela Equipartição seria . Aqui, a energia média é menor, indicando os efeitos quânticos começam a ser relevantes. -
©
: A energia média é , muito menor que a previsão clássica de . Isso mostra que, em baixas temperaturas, os efeitos quânticos são predominantes e a Equipartição não se aplica mais.
Resposta
A energia média do oscilador seguindo a distribuição de Bose-Einstein é aproximadamente:
- (a)
- (b)
- ©
Comparando com o teorema da Equipartição, observamos que em altas temperaturas os resultados são similares, enquanto em temperaturas mais baixas os efeitos quânticos fazem a energia média ser menor do que a previsão clássica.