Considere uma partícula de massa restringida a mover-se em um círculo de raio . (a) Se quisermos acelerar uniformemente esta partícula de parada até ao final de 4 voltas, qual deve ser o torque resultante (constante) a ser aplicado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa que está se movendo em um círculo com raio (ou seja, ). O que precisamos descobrir é qual deve ser o torque constante para acelerar essa partícula de parada até uma velocidade angular final de , completando 4 voltas nesse processo. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa acelerar a partícula de parada até em 4 voltas. Como a aceleração é uniforme, podemos usar as equações de movimento rotacional semelhantes às de movimento linear.
Sabemos que a velocidade angular final ( ) é , a velocidade inicial ( ) é porque parte da parada, e o deslocamento angular ( ) é 4 voltas. Vamos converter as voltas em radianos:

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da cinemática rotacional que relaciona velocidade final, velocidade inicial, aceleração angular e deslocamento angular:
Onde:
  • é a velocidade angular final,
  • é a velocidade angular inicial,
  • é a aceleração angular,
  • é o deslocamento angular.
Como , a equação simplifica para:
Vamos isolar :

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
Então, a aceleração angular necessária é aproximadamente .

Passo 5

Agora que temos a aceleração angular, vamos calcular o torque necessário. A relação entre torque ( ), momento de inércia ( ) e aceleração angular ( ) é dada por:
Para uma partícula de massa movendo-se em um círculo de raio , o momento de inércia é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula do torque:

Resposta

O torque constante que deve ser aplicado é aproximadamente .

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