Considere uma partícula de massa
restringida a mover-se em um círculo de raio
. (a) Se quisermos acelerar uniformemente esta partícula de parada até
ao final de 4 voltas, qual deve ser o torque resultante (constante) a ser aplicado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa
que está se movendo em um círculo com raio
(ou seja,
). O que precisamos descobrir é qual deve ser o torque constante para acelerar essa partícula de parada até uma velocidade angular final de
, completando 4 voltas nesse processo. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica rotacional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa acelerar a partícula de parada até
em 4 voltas. Como a aceleração é uniforme, podemos usar as equações de movimento rotacional semelhantes às de movimento linear.
Sabemos que a velocidade angular final (
) é
, a velocidade inicial (
) é
porque parte da parada, e o deslocamento angular (
) é 4 voltas. Vamos converter as voltas em radianos:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação da cinemática rotacional que relaciona velocidade final, velocidade inicial, aceleração angular e deslocamento angular:
Onde:
-
é a velocidade angular final, -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular, -
é o deslocamento angular.
Como
, a equação simplifica para:
Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo os valores que temos:
Então, a aceleração angular necessária é aproximadamente
.
Passo 5
Agora que temos a aceleração angular, vamos calcular o torque necessário. A relação entre torque (
), momento de inércia (
) e aceleração angular (
) é dada por:
Para uma partícula de massa
movendo-se em um círculo de raio
, o momento de inércia é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, aplicando a fórmula do torque:
Resposta
O torque constante que deve ser aplicado é aproximadamente
.
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