Considere uma partícula de massa m=0,20 kg restringida a mover-se em um círculo de raio 12,0 cm. (a) Se quisermos acelerar uniformemente esta partícula de parada até 15 m rad / s ao final de 4 voltas, qual deve ser o torque resultante (constante) a ser aplicado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa m = 0,20,kg que está se movendo em um círculo com raio r = 12,0,cm (ou seja, 0,12,m). O que precisamos descobrir é qual deve ser o torque constante para acelerar essa partícula de parada até uma velocidade angular final de 15,rad/s, completando 4 voltas nesse processo. Vamos usar conceitos de cinemática rotacional e dinâmica rotacional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa acelerar a partícula de parada até 15,rad/s em 4 voltas. Como a aceleração é uniforme, podemos usar as equações de movimento rotacional semelhantes às de movimento linear.
Sabemos que a velocidade angular final ( omegaf) é 15,rad/s, a velocidade inicial ( omegai) é 0,rad/s porque parte da parada, e o deslocamento angular ( theta) é 4 voltas. Vamos converter as voltas em radianos:
theta = 4 vo

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da cinemática rotacional que relaciona velocidade final, velocidade inicial, aceleração angular e deslocamento angular:
omegaf^2 = omegai^2 + 2alphatheta
Onde:
  • omegaf é a velocidade angular final,
  • omegai é a velocidade angular inicial,
  • alpha é a aceleração angular,
  • theta é o deslocamento angular.
Como omegai = 0, a equação simplifica para:
omegaf^2 = 2alphatheta
Vamos isolar alpha:
alpha = omegaf^22theta

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
alpha = (15,rad/s)^22 times 8pi,rad = 22516pi approx 22550,265 approx 4,48,rad/s^2
Então, a aceleração angular necessária é aproximadamente 4,48,rad/s^2.

Passo 5

Agora que temos a aceleração angular, vamos calcular o torque necessário. A relação entre torque ( tau), momento de inércia ( I) e aceleração angular ( alpha) é dada por:
tau = Ialpha
Para uma partícula de massa m movendo-se em um círculo de raio r, o momento de inércia é:
I = mr^2
Substituindo os valores:
I = 0,20,kg times (0,12,m)^2 = 0,20 times 0,0144 = 0,00288,kgcdotm^2

Passo 6

Agora, aplicando a fórmula do torque:
tau = Ialpha = 0,00288,kgcdotm^2 times 4,48,rad/s^2 approx 0,0129,Ncdotm

Resposta

O torque constante que deve ser aplicado é aproximadamente 0,0129,Ncdotm.

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