Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
a) Normalize a função de onda;
a) Normalize a função de onda;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que pode se mover livremente entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $ no eixo $ x $. A função de onda dela é dada por:
A gente precisa normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a condição de normalização. Para uma função de onda $ \varphi(x) $, a integral de $ |\varphi(x)|^2 $ em todo o espaço deve ser igual a 1:
Como a função de onda é zero fora do intervalo $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $, nossa integral fica apenas nesse intervalo:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão. Como $ A $ é uma constante e o cosseno ao quadrado é sempre positivo, podemos tirar $ A^2 $ da integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral de $ \cos^2 \left(\frac{3 \pi x}{a}\right) $. A gente utiliza a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
- $ \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} 1 , dx = a $
- $ \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos \left(\frac{6 \pi x}{a}\right) , dx = 0 $ (porque o cosseno integra para zero em um período completo)
Portanto:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ A $:
Resposta
A constante de normalização é $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $.