Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
varphi(x)=A cos (3 pi xa) & -a / 2= a / 2
a) Normalize a função de onda;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que pode se mover livremente entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $ no eixo $ x $. A função de onda dela é dada por:
x = -a2 á
A gente precisa normalizar essa função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em qualquer lugar seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a condição de normalização. Para uma função de onda $ \varphi(x) $, a integral de $ |\varphi(x)|^2 $ em todo o espaço deve ser igual a 1:
varphi(x)
Como a função de onda é zero fora do intervalo $ -\frac{a}{2} $ a $ \frac{a}{2} $, nossa integral fica apenas nesse intervalo:
|varphi(x)|^2

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Como $ A $ é uma constante e o cosseno ao quadrado é sempre positivo, podemos tirar $ A^2 $ da integral:
A

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral de $ \cos^2 \left(\frac{3 \pi x}{a}\right) $. A gente utiliza a identidade trigonométrica:
cos^2 (3 pi xa)
Aplicando isso, temos:
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2
Então a integral fica:
cos^2 (3 pi xa) = 1 + cos (6 pi xa)2

Passo 5

Vamos separar a integral:
A^2 ( 12 integral-a2^a2 1 , dx + 12 integral-a2^a2 cos (6 pi xa) , dx ) = 1
Calculando cada parte:
  1. $ \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} 1 , dx = a $
  2. $ \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \cos \left(\frac{6 \pi x}{a}\right) , dx = 0 $ (porque o cosseno integra para zero em um período completo)
Portanto:
integral-a2^a2 1 , dx = a

Passo 6

Agora, resolvemos para $ A $:
A

Resposta

A constante de normalização é $ A = \sqrt{\frac{2}{a}} $.

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