Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
e
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
a) Normalize a função de onda;
a) Normalize a função de onda;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que pode se mover livremente no eixo x entre 0 e a, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e normalização. Para resolver, vamos precisar usar a condição de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
Como a função de onda é zero fora de 0 e a, podemos simplificar a integral para os limites de 0 a a:
Passo 3
Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. Sabemos que:
Como $ \Psi(x, t) = A \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar} $, então:
Multiplicando as duas:
Passo 4
Agora, substituímos na condição de normalização:
Precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) dx $.
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na integral:
Passo 6
Calculamos a integral:
Calculando os limites:
Então, a integral fica:
Passo 7
Voltando à condição de normalização:
Resposta
A constante de normalização é $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.