Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x=0 e x=a, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A sen(pi xa) e^-i E t / hbar & 0= a
a) Normalize a função de onda;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que pode se mover livremente no eixo x entre 0 e a, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
Psi(x, t) = A sin(pi xa) e^-i E t / hbar & se 0 < x < a 0 & caso contrário á
O conteúdo aqui é de mecânica quântica, especificamente sobre funções de onda e normalização. Para resolver, vamos precisar usar a condição de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
integral-infty^+infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Como a função de onda é zero fora de 0 e a, podemos simplificar a integral para os limites de 0 a a:
integral0^a |Psi(x, t)|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. Sabemos que:
|Psi(x, t)|^2
Como $ \Psi(x, t) = A \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar} $, então:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)
Multiplicando as duas:
Psi(x, t) = A sin(pi xa) e^-i E t / hbar

Passo 4

Agora, substituímos na condição de normalização:
A^2 integral0^a sin^2(pi xa) dx = 1
Precisamos calcular a integral $ \int_{0}^{a} \sin^2\left(\frac{\pi x}{a}\right) dx $.

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Aplicando isso na integral:
integral0^a sin^2(pi xa) dx = integral0^a 1 - cos(2pi xa)2 dx = 12 integral0^a (1 - cos(2pi xa)) dx

Passo 6

Calculamos a integral:
12 [ integral0^a 1 , dx - integral0^a cos(2pi xa) dx ] = 12 [ a - ( a2pi sin(2pi xa) |0^a ) ]
Calculando os limites:
sin(2pi aa) = sin(2pi) = 0 e sin(0) = 0
Então, a integral fica:
12 [ a - 0 ] = a2

Passo 7

Voltando à condição de normalização:
A^2 cdot a2 = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Resposta

A constante de normalização é $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.

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