Considere um pêndulo simples de comprimento l com uma massa m presa a sua extremidade. O pêndulo se move verticalmente para cima com aceleração constante a, preso a um suporte bem leve. Obtenha as equações de movimento desse sistema e a frequência e o período para pequenas oscilações. Obs. Problema semelhante ao resolvido em aula, porém, com aceleração vertical ao invés de horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está se movendo para cima com uma aceleração constante. A gente vai usar conceitos de física sobre movimento oscilatório e forças atuantes no pêndulo. Precisaremos entender as equações de movimento para pequenos ângulos e como a aceleração vertical afeta a frequência e o período das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na massa do pêndulo. Temos a força da gravidade, que é mg, para baixo, e a força de aceleração do suporte, que é ma, também para cima. Isso faz com que a aceleração efetiva que atua no pêndulo seja a soma dessas duas.

Passo 3

A aceleração efetiva gef fica então:
gef = g + a
Isso porque a aceleração a está na mesma direção da gravidade, aumentando a aceleração total que o pêndulo sente.

Passo 4

Agora, para pequenas oscilações, a força restauradora que traz o pêndulo de volta ao equilíbrio é proporcional ao deslocamento angular. A equação do movimento para pequenas oscilações é:
d^2thetadt^2 + gefl theta = 0
Aqui, theta é o ângulo de deslocamento, l é o comprimento do pêndulo, e gef é a aceleração efetiva que calculamos.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que tem solução de oscilações harmônicas. A frequência angular omega é dada por:
omega = raizgefl = raizg + al

Passo 6

Com a frequência angular, podemos achar a frequência f e o período T. A frequência f é:
f = omega2pi = 12pi raizg + al
E o período T é o inverso da frequência:
T = 1f = 2pi raizlg + a

Resposta

As equações de movimento do pêndulo são d^2thetadt^2 + g + al theta = 0. A frequência das pequenas oscilações é f = 12pi raizg + al e o período é T = 2pi raizlg + a.

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