Considere um pêndulo simples de comprimento com uma massa presa a sua extremidade. O pêndulo se move verticalmente para cima com aceleração constante , preso a um suporte bem leve. Obtenha as equações de movimento desse sistema e a frequência e o período para pequenas oscilações. Obs. Problema semelhante ao resolvido em aula, porém, com aceleração vertical ao invés de horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está se movendo para cima com uma aceleração constante. A gente vai usar conceitos de física sobre movimento oscilatório e forças atuantes no pêndulo. Precisaremos entender as equações de movimento para pequenos ângulos e como a aceleração vertical afeta a frequência e o período das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na massa do pêndulo. Temos a força da gravidade, que é , para baixo, e a força de aceleração do suporte, que é , também para cima. Isso faz com que a aceleração efetiva que atua no pêndulo seja a soma dessas duas.

Passo 3

A aceleração efetiva fica então:
Isso porque a aceleração está na mesma direção da gravidade, aumentando a aceleração total que o pêndulo sente.

Passo 4

Agora, para pequenas oscilações, a força restauradora que traz o pêndulo de volta ao equilíbrio é proporcional ao deslocamento angular. A equação do movimento para pequenas oscilações é:
Aqui, é o ângulo de deslocamento, é o comprimento do pêndulo, e é a aceleração efetiva que calculamos.

Passo 5

Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que tem solução de oscilações harmônicas. A frequência angular é dada por:

Passo 6

Com a frequência angular, podemos achar a frequência e o período . A frequência é:
E o período é o inverso da frequência:

Resposta

As equações de movimento do pêndulo são . A frequência das pequenas oscilações é e o período é .

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