Considere um pêndulo simples de comprimento
com uma massa
presa a sua extremidade. O pêndulo se move verticalmente para cima com aceleração constante
, preso a um suporte bem leve. Obtenha as equações de movimento desse sistema e a frequência e o período para pequenas oscilações. Obs. Problema semelhante ao resolvido em aula, porém, com aceleração vertical ao invés de horizontal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um pêndulo simples que está se movendo para cima com uma aceleração constante. A gente vai usar conceitos de física sobre movimento oscilatório e forças atuantes no pêndulo. Precisaremos entender as equações de movimento para pequenos ângulos e como a aceleração vertical afeta a frequência e o período das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as forças que atuam na massa do pêndulo. Temos a força da gravidade, que é
, para baixo, e a força de aceleração do suporte, que é
, também para cima. Isso faz com que a aceleração efetiva que atua no pêndulo seja a soma dessas duas.
Passo 3
A aceleração efetiva
fica então:
Isso porque a aceleração
está na mesma direção da gravidade, aumentando a aceleração total que o pêndulo sente.
Passo 4
Agora, para pequenas oscilações, a força restauradora que traz o pêndulo de volta ao equilíbrio é proporcional ao deslocamento angular. A equação do movimento para pequenas oscilações é:
Aqui,
é o ângulo de deslocamento,
é o comprimento do pêndulo, e
é a aceleração efetiva que calculamos.
Passo 5
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que tem solução de oscilações harmônicas. A frequência angular
é dada por:
Passo 6
Com a frequência angular, podemos achar a frequência
e o período
. A frequência
é:
E o período
é o inverso da frequência:
Resposta
As equações de movimento do pêndulo são
. A frequência das pequenas oscilações é
e o período é
.
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