Estimou-se que nas próximas eleições para prefeito de nossa cidade,
dos votos eram brancos. Com base nessa estimativa, calcule a probabilidade de que em uma amostra aleatória de 1000 votantes de nossa cidade:
a) Mais de
votem em branco;
b) Entre
e
votem em branco.
a) Mais de
b) Entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá que em uma eleição para prefeito, 30% dos votos são brancos. A gente precisa calcular a probabilidade, usando essa estimativa, em duas situações diferentes numa amostra de 1000 votantes:
a) Mais de 35% votam em branco;
b) Entre 33% e 37% votam em branco.
a) Mais de 35% votam em branco;
b) Entre 33% e 37% votam em branco.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Normal como aproximação da Distribuição Binomial, já que o número de votantes é grande (1000). Precisamos entender conceitos como média, desvio padrão e a tabela Z da distribuição normal.
Passo 2
Vamos calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial. A média é dada por:
E o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, que é
:
Passo 3
Parte a) Queremos saber a probabilidade de mais de 35% dos votos serem brancos. Primeiro, calculamos quantos votos correspondem a 35%:
Agora, vamos usar a fórmula do Z para encontrar quantos desvios padrão 350 está acima da média:
Passo 4
Com o valor de Z calculado, consultamos a tabela da distribuição normal para encontrar a probabilidade correspondente. Um Z de 3,45 é bem alto, e a tabela nos mostra que a probabilidade de Z ser menor que 3,45 é quase 0,9997. Portanto, a probabilidade de Z ser maior que 3,45 (ou seja, mais de 35% votarem em branco) é:
Passo 5
Parte b) Agora, queremos a probabilidade de que entre 33% e 37% dos votos sejam brancos. Primeiro, calculamos os valores correspondentes a 33% e 37%:
Passo 6
Calculamos os valores de Z para 330 e 370 votos:
Passo 7
Consultando a tabela da distribuição normal:
- Para
, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,9808. - Para
, a probabilidade acumulada é praticamente 1, já que é um valor muito alto.
A probabilidade de Z estar entre 2,07 e 4,83 é:
Resposta
a) A probabilidade de mais de 35% dos votos serem brancos é aproximadamente 0,03%.
b) A probabilidade de entre 33% e 37% dos votos serem brancos é aproximadamente 1,92%.
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