Considere um pulso de onda dado por
onde
e
. (a) Faça gráficos do pulso nos instantes
, e
. (b) O pulso é caracterizado por sua altura e sua largura. A altura
do pulso é o módulo do deslocamento máximo devido ao pulso, e a meia largura
é a distância entre dois pontos do pulso onde o módulo do deslocamento é a metade da altura do pulso. Determine
e
. Resp: b)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um pulso de onda descrito pela equação $ y(x, t) = \frac{y_{0}}{\left[(x - v t) / x_{0}\right]^{2} + 1} $. A matéria aqui envolve ondas e suas características. Precisamos determinar a altura máxima $ h $ do pulso e a meia largura $ w $, que é a distância entre dois pontos onde o deslocamento é metade da altura máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a altura $ h $ do pulso. A altura é o deslocamento máximo que a onda atinge. Olhando para a equação do pulso, percebemos que o valor máximo de $ y(x, t) $ ocorre quando o denominador é mínimo.
Passo 3
Para encontrar o ponto onde $ y(x, t) $ é máximo, analisamos o denominador
. O menor valor possível desse denominador é 1, que acontece quando
, ou seja, quando $ x = v t $.
Passo 4
Substituindo $ x = v t $ na equação do pulso, temos:
Então, a altura $ h $ do pulso é igual a $ y_{0} $.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a meia largura $ w $. A meia largura é a distância entre dois pontos onde $ y(x, t) = \frac{h}{2} = \frac{y_{0}}{2} $.
Passo 6
Igualando a equação do pulso a $ \frac{y_{0}}{2} $:
Simplificando:
Passo 7
Resolvendo para $ x $:
A distância entre esses dois pontos é:
Resposta
Então, a altura do pulso é $ h = y_{0} = 10,0 $ mm e a meia largura é $ w = 2 x_{0} = 2,00 $ m.