Considere um pulso de onda dado por
y(x, t)=y0[(x-v t) / x0]^2+1,
onde ytheta=1 0 , 0 m m, x0=1,00 m e v=2 , 0 0 m / s. (a) Faça gráficos do pulso nos instantes t=0 , 0 0 s, e t=2 , 5 0 s. (b) O pulso é caracterizado por sua altura e sua largura. A altura h do pulso é o módulo do deslocamento máximo devido ao pulso, e a meia largura w é a distância entre dois pontos do pulso onde o módulo do deslocamento é a metade da altura do pulso. Determine h e w. Resp: b) h=y0=10,0 mm e w=2 x x0=2 , 0 0 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um pulso de onda descrito pela equação $ y(x, t) = \frac{y_{0}}{\left[(x - v t) / x_{0}\right]^{2} + 1} $. A matéria aqui envolve ondas e suas características. Precisamos determinar a altura máxima $ h $ do pulso e a meia largura $ w $, que é a distância entre dois pontos onde o deslocamento é metade da altura máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a altura $ h $ do pulso. A altura é o deslocamento máximo que a onda atinge. Olhando para a equação do pulso, percebemos que o valor máximo de $ y(x, t) $ ocorre quando o denominador é mínimo.

Passo 3

Para encontrar o ponto onde $ y(x, t) $ é máximo, analisamos o denominador y(x, t) . O menor valor possível desse denominador é 1, que acontece quando [(x - v t) / x0]^2 + 1, ou seja, quando $ x = v t $.

Passo 4

Substituindo $ x = v t $ na equação do pulso, temos:
x = v t á
Então, a altura $ h $ do pulso é igual a $ y_{0} $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a meia largura $ w $. A meia largura é a distância entre dois pontos onde $ y(x, t) = \frac{h}{2} = \frac{y_{0}}{2} $.

Passo 6

Igualando a equação do pulso a $ \frac{y_{0}}{2} $:
y02
Simplificando:
y0[(x - v t) / x0]^2 + 1 = y02
[(x - v t) / x0]^2 + 1 = 2
[(x - v t) / x0]^2 = 1

Passo 7

Resolvendo para $ x $:
x
x - v t = pm x0
A distância entre esses dois pontos é:
x = v t pm x0

Resposta

Então, a altura do pulso é $ h = y_{0} = 10,0 $ mm e a meia largura é $ w = 2 x_{0} = 2,00 $ m.

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