Considere o seguinte espaço amostral: Omega=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Escreva os eventos (conjuntos):
A= número par:
B= número ímpar:
C= múltiplo de 3 :
D= maior ou igual a 6 :
E= maior que 8:
F= menor que 5:
G= menor ou igual a 3:
Obtenha os seguintes eventos:
a) A cap B=
b) A cup B=
c) (A cap B)^c=
d) (A cup B)^c=
e) C cap D=
f) E cup F=
g) (A cap G)^c=
h) (E^c cup B)^c=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um espaço amostral Omega = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 e define vários eventos como conjuntos de números com certas características. O conteúdo aqui é sobre teoria dos conjuntos, onde vamos trabalhar com operações como interseção ( cap), união ( cup) e complemento ( ^c). Para resolver, vamos identificar os conjuntos correspondentes a cada evento e depois aplicar as operações pedidas.

Passo 2

Identificando os eventos:
Vamos primeiro identificar cada evento com base no espaço amostral Omega.
  • A = número par: Os números pares entre 1 e 10 são 2, 4, 6, 8, 10.
  • B = número ímpar: Os números ímpares entre 1 e 10 são 1, 3, 5, 7, 9.
  • C = múltiplo de 3: Os múltiplos de 3 entre 1 e 10 são 3, 6, 9.
  • D = maior ou igual a 6: Os números maiores ou iguais a 6 são 6, 7, 8, 9, 10.
  • E = maior que 8: Os números maiores que 8 são 9, 10.
  • F = menor que 5: Os números menores que 5 são 1, 2, 3, 4.
  • G = menor ou igual a 3: Os números menores ou iguais a 3 são 1, 2, 3.

Passo 3

a) A cap B
A interseção de A e B ( A cap B) representa os elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.
  • A = 2, 4, 6, 8, 10
  • B = 1, 3, 5, 7, 9
Como A contém apenas números pares e B apenas ímpares, não há números que são pares e ímpares simultaneamente. Portanto:
A cap B = emptyset

Passo 4

b) A cup B
A união de A e B ( A cup B) inclui todos os elementos que estão em A ou em B.
  • A = 2, 4, 6, 8, 10
  • B = 1, 3, 5, 7, 9
Juntando ambos os conjuntos:
A cup B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 = Omega

Passo 5

c) (A cap B)^c
Primeiro, já vimos que A cap B = emptyset. O complemento de um conjunto vazio em relação a Omega é o próprio espaço amostral.
$ (\mathrm{A} \cap \mathrm{B})^{c} = \Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} $

Passo 6

d) (A cup B)^c
Já determinamos que A cup B = Omega. O complemento de Omega em relação a si mesmo é o conjunto vazio.
$ (\mathrm{A} \cup \mathrm{B})^{c} = \emptyset $

Passo 7

e) C cap D
A interseção de C e D ( C cap D) inclui os elementos que estão em C e em D.
  • C = 3, 6, 9
  • D = 6, 7, 8, 9, 10
Os números comuns a ambos os conjuntos são 6, 9.
$ \mathrm{C} \cap \mathrm{D} = {6, 9} $

Passo 8

f) E cup F
A união de E e F ( E cup F) inclui todos os elementos que estão em E ou em F.
  • E = 9, 10
  • F = 1, 2, 3, 4
Juntando ambos os conjuntos:
$ \mathrm{E} \cup \mathrm{F} = {1, 2, 3, 4, 9, 10} $

Passo 9

g) (A cap G)^c
Primeiro, vamos encontrar A cap G.
  • A = 2, 4, 6, 8, 10
  • G = 1, 2, 3
O único número comum é 2.
$ \mathrm{A} \cap \mathrm{G} = {2} $
Agora, o complemento desse conjunto em relação a A cap G = 2 é todos os números em Omega que não estão em Omega.
$ (\mathrm{A} \cap \mathrm{G})^{c} = {1,3,4,5,6,7,8,9,10} $

Passo 10

h) (E^c cup B)^c
Vamos por partes.
Primeiro, determinar E^c, o complemento de E.
  • E = 9, 10
  • \mathrm{E}^{c} = \Omega \setminus E = {1,2,3,4,5,6,7,8}$
Agora, unir ** Agora, unir com B:
  • \mathrm{E}^{c} = {1,2,3,4,5,6,7,8}$
  • B = com B: - **E^c = 1,2,3,4,5,6,7,8
$ \mathrm{E}^{c} \cup \mathrm{B} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $
Agora, o complemento desse conjunto em relação a 1,3,5,7,9:
$ \left(\mathrm{E}^{c} \cup \mathrm{B}\right)^{c} = \Omega \setminus {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = {10} $

Resposta

a) A cap B = emptyset
b) A cup B = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
c) (A cap B)^c = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
d) (A cup B)^c = emptyset
e) C cap D = 6, 9
f) E cup F = 1,2,3,4,9,10
g) (A cap G)^c = 1,3,4,5,6,7,8,9,10
h) (E^c cup B)^c = 10

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