Considere o seguinte espaço amostral:
. Escreva os eventos (conjuntos):
número par:
número ímpar:
múltiplo de 3 :
maior ou igual a 6 :
maior que 8:
menor que 5:
menor ou igual a 3:
Obtenha os seguintes eventos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Obtenha os seguintes eventos:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um espaço amostral
e define vários eventos como conjuntos de números com certas características. O conteúdo aqui é sobre teoria dos conjuntos, onde vamos trabalhar com operações como interseção (
), união (
) e complemento (
). Para resolver, vamos identificar os conjuntos correspondentes a cada evento e depois aplicar as operações pedidas.
Passo 2
Identificando os eventos:
Vamos primeiro identificar cada evento com base no espaço amostral
.
- A = número par: Os números pares entre 1 e 10 são
. - B = número ímpar: Os números ímpares entre 1 e 10 são
. - C = múltiplo de 3: Os múltiplos de 3 entre 1 e 10 são
. - D = maior ou igual a 6: Os números maiores ou iguais a 6 são
. - E = maior que 8: Os números maiores que 8 são
. - F = menor que 5: Os números menores que 5 são
. - G = menor ou igual a 3: Os números menores ou iguais a 3 são
.
Passo 3
a)
A interseção de A e B (
) representa os elementos que estão em A e em B ao mesmo tempo.
- A =
- B =
Como A contém apenas números pares e B apenas ímpares, não há números que são pares e ímpares simultaneamente. Portanto:
Passo 4
b)
A união de A e B (
) inclui todos os elementos que estão em A ou em B.
- A =
- B =
Juntando ambos os conjuntos:
Passo 5
c)
Primeiro, já vimos que
. O complemento de um conjunto vazio em relação a
é o próprio espaço amostral.
$ (\mathrm{A} \cap \mathrm{B})^{c} = \Omega = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} $
Passo 6
d)
Já determinamos que
. O complemento de
em relação a si mesmo é o conjunto vazio.
$ (\mathrm{A} \cup \mathrm{B})^{c} = \emptyset $
Passo 7
e)
A interseção de C e D (
) inclui os elementos que estão em C e em D.
- C =
- D =
Os números comuns a ambos os conjuntos são
.
$ \mathrm{C} \cap \mathrm{D} = {6, 9} $
Passo 8
f)
A união de E e F (
) inclui todos os elementos que estão em E ou em F.
- E =
- F =
Juntando ambos os conjuntos:
$ \mathrm{E} \cup \mathrm{F} = {1, 2, 3, 4, 9, 10} $
Passo 9
g)
Primeiro, vamos encontrar
.
- A =
- G =
O único número comum é 2.
$ \mathrm{A} \cap \mathrm{G} = {2} $
Agora, o complemento desse conjunto em relação a
é todos os números em
que não estão em
.
$ (\mathrm{A} \cap \mathrm{G})^{c} = {1,3,4,5,6,7,8,9,10} $
Passo 10
h)
Vamos por partes.
Primeiro, determinar
, o complemento de E.
- E =
- \mathrm{E}^{c} = \Omega \setminus E = {1,2,3,4,5,6,7,8}$
Agora, unir
com B:
- \mathrm{E}^{c} = {1,2,3,4,5,6,7,8}$
- B =
$ \mathrm{E}^{c} \cup \mathrm{B} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} $
Agora, o complemento desse conjunto em relação a
:
$ \left(\mathrm{E}^{c} \cup \mathrm{B}\right)^{c} = \Omega \setminus {1,2,3,4,5,6,7,8,9} = {10} $
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)