Considere os seguintes polinômios A = 5x^5 + 2x^4 e B = -3x^4 + 5x^3 - 3, analise as assertivas abaixo:
I. A + B = 2B I
I. A + B = 5x^5 - x^4 + 5x^3 - 3
III. B - A = -5x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 3
IV. A^2 = 25x^10 - 20x^9 + 4x^8 É correto o que se afirma em:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem dois polinômios:
  • $ A = 5x^5 + 2x^4 $
  • $ B = -3x^4 + 5x^3 - 3 $
A questão pede para analisar quatro afirmações sobre esses polinômios. Vamos precisar saber como somar, subtrair e elevar polinômios ao quadrado. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ A + B $. Para somar polinômios, a gente simplesmente soma os termos que têm o mesmo grau (a mesma potência de $ x $).
Vamos alinhar os termos:
  • $ A = 5x^5 + 2x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0 $
  • $ B = 0x^5 - 3x^4 + 5x^3 + 0x^2 + 0x - 3 $
Agora, somamos cada coluna:
  • $ 5x^5 + 0x^5 = 5x^5 $
  • $ 2x^4 + (-3x^4) = -x^4 $
  • $ 0x^3 + 5x^3 = 5x^3 $
  • Os outros termos são zero, então ficam $ -3 $.
Então, $ A + B = 5x^5 - x^4 + 5x^3 - 3 $.

Passo 3

Vamos agora verificar a afirmação I: $ A + B = 2B $.
Primeiro, calculamos $ 2B $:
$ 2B = 2(-3x^4 + 5x^3 - 3) = -6x^4 + 10x^3 - 6 $.
Já vimos que $ A + B = 5x^5 - x^4 + 5x^3 - 3 $.
Comparando os dois resultados:
  • $ 5x^5 $ não está presente em $ 2B $.
  • Os coeficientes de $ x^4 $, $ x^3 $ e o termo constante são diferentes.
Portanto, $ A + B $ não é igual a $ 2B $. A afirmação I está errada.

Passo 4

Agora, vamos para a afirmação II: $ A + B = 5x^5 - x^4 + 5x^3 - 3 $.
Já calculamos $ A + B $ no Passo 2 e vimos que:
$ A + B = 5x^5 - x^4 + 5x^3 - 3 $.
Isso coincide exatamente com a afirmação II. Então, a afirmação II está certa.

Passo 5

Vamos verificar a afirmação III: $ B - A = -5x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 3 $.
Para calcular $ B - A $, vamos subtrair cada termo de $ A $ de $ B $:
  • $ 0x^5 - 5x^5 = -5x^5 $
  • $ -3x^4 - 2x^4 = -5x^4 $
  • $ 5x^3 - 0x^3 = 5x^3 $
  • Os outros termos permanecem: $ -3 $.
Então, $ B - A = -5x^5 - 5x^4 + 5x^3 - 3 $.
Isso coincide com a afirmação III. Portanto, a afirmação III está certa.

Passo 6

Por último, vamos analisar a afirmação IV: $ A^2 = 25x^{10} - 20x^9 + 4x^8 $.
Para calcular $ A^2 $, precisamos multiplicar $ A $ por ele mesmo:
$ A = 5x^5 + 2x^4 $
Vamos multiplicar cada termo de $ A $ por cada termo de $ A $:
  • $ 5x^5 \times 5x^5 = 25x^{10} $
  • $ 5x^5 \times 2x^4 = 10x^9 $
  • $ 2x^4 \times 5x^5 = 10x^9 $
  • $ 2x^4 \times 2x^4 = 4x^8 $
Agora, somamos os termos:
$ 25x^{10} + 10x^9 + 10x^9 + 4x^8 = 25x^{10} + 20x^9 + 4x^8 $
A afirmação IV diz que $ A^2 = 25x^{10} - 20x^9 + 4x^8 $, mas nós encontramos $ +20x^9 $ em vez de $ -20x^9 $.
Logo, a afirmação IV está errada.

Resposta

As afirmações II e III estão corretas.

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