Considere os seguintes sistemas:
16. Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros alpha, beta, gamma, a, b e c.
(a) rrrx+y+z & = & 0 x-y+alpha z & = & 1 alpha x+2 y+z & = & -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três incógnitas: , e . O que a gente precisa descobrir aqui é o tipo de solução que esse sistema tem, dependendo do valor do parâmetro . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente, trabalharemos com matrizes e determinantes para entender quando o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & | & 0 1 & -1 & alpha & | & 1 alpha & 2 & 1 & | & -2

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a última coluna). O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única ou não. A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & 1 1 & -1 & alpha alpha & 2 & 1
O determinante D = 1 cdot (-1 cdot 1 - alpha cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 1 - alpha cdot alpha) + 1 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot alpha) dessa matriz é calculado assim:
D = 1(-1 - 2alpha) - 1(1 - alpha^2) + 1(2 + alpha) = -1 - 2alpha -1 + alpha^2 + 2 + alpha = alpha^2 - alpha
Simplificando:

Passo 4

Agora que temos o determinante alpha^2 - alpha = 0 implies alpha(alpha - 1) = 0 , vamos analisar quando ele é diferente de zero e quando é igual a zero.
  • Se : O sistema tem uma solução única.
  • Se : Precisamos verificar se as equações são compatíveis ou não para decidir se há infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :
Então, ou .

Passo 5

Vamos analisar os casos onde x + y + z = 0 x - y = 1 0 cdot x + 2y + z = -2 e x + y + z = 0 x - y + z = 1 x + 2y + z = -2 :
  • Quando (x - y + z) - (x + y + z) = 1 - 0 implies -2y = 1 implies y = -12 :
O sistema fica:
x - 12 + z = 0 implies x + z = 12
Resolvendo essas equações, podemos ver que não há inconsistências, e o sistema terá uma solução única.
  • Quando x + 2(-12) + z = -2 implies x - 1 + z = -2 implies x + z = -1 :
O sistema fica:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Aqui vemos que não pode ser igual a e a ao mesmo tempo, o que é uma impossibilidade. Portanto, quando , o sistema não tem solução.

Resposta

  • Para todo diferente de 1, o sistema possui uma solução única.
  • Quando , o sistema não tem solução.

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