Considere os seguintes sistemas:
16. Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros e .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três incógnitas: , e . O que a gente precisa descobrir aqui é o tipo de solução que esse sistema tem, dependendo do valor do parâmetro . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, mais especificamente, trabalharemos com matrizes e determinantes para entender quando o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita os cálculos. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a última coluna). O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem solução única ou não. A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & 1 1 & -1 & alpha alpha & 2 & 1
O determinante D = 1 cdot (-1 cdot 1 - alpha cdot 2) - 1 cdot (1 cdot 1 - alpha cdot alpha) + 1 cdot (1 cdot 2 - (-1) cdot alpha) dessa matriz é calculado assim:
Agora que temos o determinante alpha^2 - alpha = 0 implies alpha(alpha - 1) = 0 , vamos analisar quando ele é diferente de zero e quando é igual a zero.
Se : O sistema tem uma solução única.
Se : Precisamos verificar se as equações são compatíveis ou não para decidir se há infinitas soluções ou nenhuma solução.
Vamos resolver :
Então, ou .
Passo 5
Vamos analisar os casos onde x + y + z = 0 x - y = 1 0 cdot x + 2y + z = -2 e x + y + z = 0 x - y + z = 1 x + 2y + z = -2 :
Quando (x - y + z) - (x + y + z) = 1 - 0 implies -2y = 1 implies y = -12 :
O sistema fica:
x - 12 + z = 0 implies x + z = 12
Resolvendo essas equações, podemos ver que não há inconsistências, e o sistema terá uma solução única.
Quando x + 2(-12) + z = -2 implies x - 1 + z = -2 implies x + z = -1 :
O sistema fica:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação:
Aqui vemos que não pode ser igual a e a ao mesmo tempo, o que é uma impossibilidade. Portanto, quando , o sistema não tem solução.
Resposta
Para todo diferente de 1, o sistema possui uma solução única.