Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com uma variável parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem:
Uma única solução,
Infinitas soluções,
Nenhuma solução.
Pra isso, vamos usar algumas ferramentas da álgebra linear, como o cálculo do determinante e a regra de Cramer, que ajudam a entender se o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) ou inconsistente (não tem solução), e se essa solução é única ou múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x1 + a x2 + x3 = 1 2 x1 - a x2 + 3 x3 = a - x1 + 3 x2 = -2
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .
Passo 3
Para analisar o tipo de solução, vamos montar a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & a & 1 2 & -a & 3 -1 & 3 & 0
O determinante De dessa matriz é calculado da seguinte maneira:
Passo 4
Vamos calcular o determinante De:
- a & 3 3 & 0 = (-a)(0) - (3)(3) = -9
Calculando cada menor:
2 & 3 -1 & 0 = (2)(0) - (3)(-1) = 3
2 & - a -1 & 3 = (2)(3) - (-a)(-1) = 6 - a
De
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora que temos -3 - 4a = 0 implies a = -34 , vamos analisar os casos:
Se : O sistema tem uma única solução.
Se : Precisamos verificar a consistência do sistema.
Vamos resolver :
Passo 6
Então, temos dois casos:
Quando :
.
O sistema tem uma única solução.
Quando :
.
Precisamos verificar se o sistema é consistente ou não.
Passo 7
Vamos substituir x1 - 34 x2 + x3 = 1 2 x1 + 34 x2 + 3 x3 = -34 - x1 + 3 x2 = -2 no sistema e verificar a consistência:
Agora, resolveremos o sistema para ver se existe solução.
Passo 8
Multiplicando a primeira equação por 4 para eliminar o denominador: