Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros alpha, beta, gamma, a, b e c.
© rrrx1+a x2+x3 & = & 1 2 x1-a x2+3 x3 & = & a -x1+3 x2 & = & -2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com uma variável parâmetro . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o sistema tem:
  • Uma única solução,
  • Infinitas soluções,
  • Nenhuma solução.
Pra isso, vamos usar algumas ferramentas da álgebra linear, como o cálculo do determinante e a regra de Cramer, que ajudam a entender se o sistema é consistente (tem pelo menos uma solução) ou inconsistente (não tem solução), e se essa solução é única ou múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
x1 + a x2 + x3 = 1 2 x1 - a x2 + 3 x3 = a - x1 + 3 x2 = -2
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .

Passo 3

Para analisar o tipo de solução, vamos montar a matriz dos coeficientes e o determinante dessa matriz. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & a & 1 2 & -a & 3 -1 & 3 & 0
O determinante De dessa matriz é calculado da seguinte maneira:

Passo 4

Vamos calcular o determinante De:
- a & 3 3 & 0 = (-a)(0) - (3)(3) = -9
Calculando cada menor:
2 & 3 -1 & 0 = (2)(0) - (3)(-1) = 3
2 & - a -1 & 3 = (2)(3) - (-a)(-1) = 6 - a
De
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora que temos -3 - 4a = 0 implies a = -34 , vamos analisar os casos:
  1. Se : O sistema tem uma única solução.
  2. Se : Precisamos verificar a consistência do sistema.
Vamos resolver :

Passo 6

Então, temos dois casos:
  1. Quando :
    • .
    • O sistema tem uma única solução.
  2. Quando :
    • .
    • Precisamos verificar se o sistema é consistente ou não.

Passo 7

Vamos substituir x1 - 34 x2 + x3 = 1 2 x1 + 34 x2 + 3 x3 = -34 - x1 + 3 x2 = -2 no sistema e verificar a consistência:
Agora, resolveremos o sistema para ver se existe solução.

Passo 8

Multiplicando a primeira equação por 4 para eliminar o denominador:
4x1 - 3x2 + 4x3 = 4
A segunda equação multiplicada por 4:
8x1 + 3x2 + 12x3 = -3
A terceira permanece:
- x1 + 3 x2 = -2
Agora, temos:
4x1 - 3x2 + 4x3 = 4 8x1 + 3x2 + 12x3 = -3 - x1 + 3 x2 = -2

Passo 9

Somando a primeira e a segunda equações para eliminar (4x1 - 3x2 + 4x3) + (8x1 + 3x2 + 12x3) = 4 + (-3) 12x1 + 16x3 = 1 :
12x1 + 16x3 = 1
Então:
3x1 + 4x3 = 14
Podemos simplificar dividindo por 4:

Passo 10

Agora, usando a terceira equação:
- x1 + 3 x2 = -2 implies x1 = 3x2 + 2
Substituindo 3(3x2 + 2) + 4x3 = 14 implies 9x2 + 6 + 4x3 = 14 na equação 9x2 + 4x3 = 14 - 6 = -234 :
Subtraindo 6 de ambos os lados:

Passo 11

Agora temos duas equações:
  1. x1 - 34x2 + x3 = 1
  2. A primeira equação original: 3x2 + 2 - 34x2 + x3 = 1 implies 94x2 + x3 = -1
Vamos resolver essas duas.
Multiplicando a segunda equação por 9x2 + 4x3 = -4 :
9x2 + 4x3 = -234
Substituindo :
Multiplicando por 4:
Comparando com a outra equação:
Isso é impossível, pois . Portanto, o sistema é inconsistente.

Resposta

O sistema possui uma única solução para todo valor de diferente de . Quando , o sistema não tem solução.

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