Considere um sistema linear
qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
© Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
possui uma linha de zeros.
© Se o sistema linear
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear da forma
e sabemos que, ao escalonar a matriz aumentada
, ela se transforma em
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares, escalonamento de matrizes e classificação de sistemas como compatíveis ou incompatíveis. Precisamos entender o que acontece na matriz escalonada
quando o sistema é incompatível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um sistema linear ser incompatível. Um sistema é incompatível quando não há nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente. Isso geralmente ocorre quando, após o escalonamento da matriz aumentada, aparece uma linha onde todos os coeficientes das variáveis são zeros, mas o termo independente não é zero, ou seja, algo como
com
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmação: “Se o sistema linear
é incompatível, então a matriz
possui uma linha de zeros.”
Quando o sistema é incompatível, durante o processo de escalonamento, inevitavelmente ocorre que uma das linhas da matriz dos coeficientes se torna toda de zeros, enquanto o termo independente dessa linha permanece diferente de zero. Isso indica que a matriz
terá pelo menos uma linha composta apenas por zeros no lado dos coeficientes. Portanto, a afirmação está correta.
Resposta
Verdadeira. Se o sistema é incompatível, a matriz
terá uma linha de zeros nos coeficientes.