Considere um sistema linear A x=b qualquer. Suponhamos que o processo de escalonamento de sua matriz completa é dado por
[A mid b] sim cdots sim[E mid b^prime]
Com base nas informações acima, classifique as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas, aoresentando breve justificativa.
© Se o sistema linear A x=b é incompatível, então a matriz E possui uma linha de zeros.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear da forma e sabemos que, ao escalonar a matriz aumentada , ela se transforma em . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares, escalonamento de matrizes e classificação de sistemas como compatíveis ou incompatíveis. Precisamos entender o que acontece na matriz escalonada quando o sistema é incompatível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um sistema linear ser incompatível. Um sistema é incompatível quando não há nenhuma solução que satisfaça todas as equações simultaneamente. Isso geralmente ocorre quando, após o escalonamento da matriz aumentada, aparece uma linha onde todos os coeficientes das variáveis são zeros, mas o termo independente não é zero, ou seja, algo como com .

Passo 3

Agora, vamos analisar a afirmação: “Se o sistema linear é incompatível, então a matriz possui uma linha de zeros.”
Quando o sistema é incompatível, durante o processo de escalonamento, inevitavelmente ocorre que uma das linhas da matriz dos coeficientes se torna toda de zeros, enquanto o termo independente dessa linha permanece diferente de zero. Isso indica que a matriz terá pelo menos uma linha composta apenas por zeros no lado dos coeficientes. Portanto, a afirmação está correta.

Resposta

Verdadeira. Se o sistema é incompatível, a matriz terá uma linha de zeros nos coeficientes.

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