nome: Eduardo Duas murbach
continuarác do questao 5.
  • Testando a comregência al salute do Norie
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. Pelo teste do comparacace conclumas que a serie é abselertaments comrgente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para testar a convergência absoluta da série alternada definida por:
Isso significa que precisamos verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar a nossa série com outra série que sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o valor absoluto dos termos da série original:
Então, nossa série em valor absoluto fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão . Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a comparação:
Resolvendo para e , encontramos que:
Então,

Passo 4

Observando a soma, temos:
Sabemos que a série é a série harmônica, que não converge. Porém, ao combinar com , a série total ainda não está clara para convergência. Por isso, precisamos escolher outra série para comparar.

Passo 5

Vamos comparar com a série:
Sabemos que:
Isso porque, para :

Passo 6

Agora, analisamos a série comparativa . Podemos simplificar essa série usando frações parciais:
Essa é uma série telescópica, que converge para um valor finito.

Passo 7

Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série também converge.

Resposta

Portanto, a série converge absolutamente.

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