nome: Eduardo Duas murbach
continuarác do questao 5.
Testando a comregência al salute do Norie
serit the lespic, Logo í comprgent a n=n+2n(n+3) <= b m=sn(n+1). Pelo teste do comparacace conclumas que a serie sumn=1^infty(-1)^n+1 n+2n(n+3) é abselertaments comrgente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para testar a convergência absoluta da série alternada definida por:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n+2n(n+3)
Isso significa que precisamos verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar a nossa série com outra série que sabemos que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o valor absoluto dos termos da série original:
| (-1)^n+1 n+2n(n+3) | = n+2n(n+3)
Então, nossa série em valor absoluto fica:
sumn=1^infty n+2n(n+3)
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão n+2n(n+3) = An + Bn+3 . Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a comparação:
A = 1 e B = 1
Resolvendo para n+2n(n+3) = 1n + 1n+3 e , encontramos que:
Então,
Passo 4
Observando a soma, temos:
sumn=1^infty 1n + 1n+3
Sabemos que a série é a série harmônica, que não converge. Porém, ao combinar com , a série total ainda não está clara para convergência. Por isso, precisamos escolher outra série para comparar.
Passo 5
Vamos comparar com a série:
sumn=1^infty 5n(n+1)
Sabemos que:
n+2n(n+3) <= 5n(n+1)
Isso porque, para n+2 <= 5 e n+3 >= n+1 :
Passo 6
Agora, analisamos a série comparativa 5n(n+1) = 5n - 5n+1 . Podemos simplificar essa série usando frações parciais:
Essa é uma série telescópica, que converge para um valor finito.
Passo 7
Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série também converge.