nome: Eduardo Duas murbach
continuarác do questao 5.
Testando a comregência al salute do Norie
serit the lespic, Logo í comprgent . Pelo teste do comparacace conclumas que a serie é abselertaments comrgente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para testar a convergência absoluta da série alternada definida por:
Isso significa que precisamos verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar a nossa série com outra série que sabemos que converge.
Passo 2
Primeiro, vamos tirar o valor absoluto dos termos da série original:
Então, nossa série em valor absoluto fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão . Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a comparação:
Resolvendo para e , encontramos que:
Então,
Passo 4
Observando a soma, temos:
Sabemos que a série é a série harmônica, que não converge. Porém, ao combinar com , a série total ainda não está clara para convergência. Por isso, precisamos escolher outra série para comparar.
Passo 5
Vamos comparar com a série:
Sabemos que:
Isso porque, para :
Passo 6
Agora, analisamos a série comparativa . Podemos simplificar essa série usando frações parciais:
Essa é uma série telescópica, que converge para um valor finito.
Passo 7
Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série também converge.