nome: Eduardo Duas murbach
continuarác do questao 5.
  • Testando a comregência al salute do Norie
l sumn=1^infty|(-1)^n+1 n+2n(n+3)|=sumn=1^infty n+2n(n+3) sumn=1^infty n+2n(n+3)=34+410+518+628 note que =sumn=1^infty n+2n(n+3)=3 / 4+4 / 10+5 / 18+6 / 28 <= sumn+11^infty 5n(n+1)
serit the lespic, Logo í comprgent
a n=n+2n(n+3) <= b m=sn(n+1). Pelo teste do comparacace conclumas que a serie sumn=1^infty(-1)^n+1 n+2n(n+3) é abselertaments comrgente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para testar a convergência absoluta da série alternada definida por:
sumn=1^infty (-1)^n+1 n+2n(n+3)
Isso significa que precisamos verificar se a série formada pelos valores absolutos dos termos também converge. Para isso, vamos usar o Teste de Comparação. Vamos precisar comparar a nossa série com outra série que sabemos que converge.

Passo 2

Primeiro, vamos tirar o valor absoluto dos termos da série original:
| (-1)^n+1 n+2n(n+3) | = n+2n(n+3)
Então, nossa série em valor absoluto fica:
sumn=1^infty n+2n(n+3)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão n+2n(n+3) = An + Bn+3 . Podemos fazer uma decomposição em frações parciais para facilitar a comparação:
A = 1 e B = 1
Resolvendo para n+2n(n+3) = 1n + 1n+3 e , encontramos que:
Então,

Passo 4

Observando a soma, temos:
sumn=1^infty 1n + 1n+3
Sabemos que a série é a série harmônica, que não converge. Porém, ao combinar com , a série total ainda não está clara para convergência. Por isso, precisamos escolher outra série para comparar.

Passo 5

Vamos comparar com a série:
sumn=1^infty 5n(n+1)
Sabemos que:
n+2n(n+3) <= 5n(n+1)
Isso porque, para n+2 <= 5 e n+3 >= n+1 :

Passo 6

Agora, analisamos a série comparativa 5n(n+1) = 5n - 5n+1 . Podemos simplificar essa série usando frações parciais:
Essa é uma série telescópica, que converge para um valor finito.

Passo 7

Como e a série converge, pelo Teste de Comparação, a série também converge.

Resposta

Portanto, a série converge absolutamente.

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