Considere o mesmo sistema, porém agora os pesos são removidos de tal maneira que a expressão
seja constante e descreva a relação entre a pressão e o volume durante o processo. Considere o volume final novamente de
. Calcule o trabalho sobre o gás.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um problema onde precisamos calcular o trabalho sobre um gás quando os pesos que estavam mantendo o sistema são removidos. A relação entre pressão
e volume
durante esse processo é dada por
. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado quando o volume final é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos poliatérmicos e como calcular o trabalho em tais processos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
No nosso caso, sabemos que
. Vamos chamar essa constante de
, então:
Passo 3
Substituindo a expressão de
na equação do trabalho, temos:
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos considerar que
é constante durante o processo, então podemos tirar
da integral:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. A integral de
em relação a
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão do trabalho:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que
, podemos aplicar isso nas condições iniciais ou finais, dependendo das informações que temos. Supondo que temos a pressão inicial
e o volume inicial
, podemos escrever:
Substituindo na equação do trabalho:
Passo 7
Agora, vamos simplificar a expressão. Note que
dividido por
é
. Assim:
Isso simplifica para:
Passo 8
Agora, podemos calcular o trabalho substituindo os valores conhecidos. Supondo que já temos o valor de
,
e
, basta substituir na fórmula acima para encontrar
.
Resposta
O trabalho sobre o gás é dado por:
Substituindo os valores específicos de
e
, você poderá calcular o valor numérico do trabalho realizado sobre o gás.
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