Considere o mesmo sistema, porém agora os pesos são removidos de tal maneira que a expressão P V^1,3 seja constante e descreva a relação entre a pressão e o volume durante o processo. Considere o volume final novamente de 0,1 m^3. Calcule o trabalho sobre o gás.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um problema onde precisamos calcular o trabalho sobre um gás quando os pesos que estavam mantendo o sistema são removidos. A relação entre pressão e volume durante esse processo é dada por . Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado quando o volume final é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos poliatérmicos e como calcular o trabalho em tais processos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado pela integral da pressão em relação ao volume:
W = integralVi^Vf P , dV
No nosso caso, sabemos que P = CV^1,3 . Vamos chamar essa constante de , então:

Passo 3

Substituindo a expressão de W = integralVi^Vf CV^1,3 , dV na equação do trabalho, temos:
W = C integralVi^Vf V^-1,3 , dV
Agora, precisamos resolver essa integral. Para isso, vamos considerar que é constante durante o processo, então podemos tirar da integral:

Passo 4

Vamos resolver a integral integral V^n , dV = V^n+1n+1 + constante . A integral de integral V^-1,3 , dV = V^-1,3 + 1-1,3 + 1 = V^-0,3-0,3 = -V^-0,30,3 em relação a é:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão do trabalho:
W = C [ -V^-0,30,3 ]Vi^Vf = -C0,3 ( Vf^-0,3 - Vi^-0,3 )
Simplificando:
W = -C0,3 ( 1Vf^0,3 - 1Vi^0,3 )

Passo 6

Lembrando que C = Pi Vi^1,3 , podemos aplicar isso nas condições iniciais ou finais, dependendo das informações que temos. Supondo que temos a pressão inicial W = -Pi Vi^1,30,3 ( 1Vf^0,3 - 1Vi^0,3 ) e o volume inicial , podemos escrever:
Substituindo na equação do trabalho:

Passo 7

Agora, vamos simplificar a expressão. Note que W = -Pi Vi0,3 ( Vi^0,3Vf^0,3 - 1 ) dividido por W = -Pi Vi0,3 ( ( ViVf )^0,3 - 1 ) é . Assim:
Isso simplifica para:

Passo 8

Agora, podemos calcular o trabalho substituindo os valores conhecidos. Supondo que já temos o valor de , e , basta substituir na fórmula acima para encontrar .

Resposta

O trabalho sobre o gás é dado por:
W = -Pi Vi0,3 ( ( Vi0,1 )^0,3 - 1 )
Substituindo os valores específicos de e , você poderá calcular o valor numérico do trabalho realizado sobre o gás.

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