Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo x, com diâmetro interno D, N espiras enroladas e um comprimento total L. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa R, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: B=B0(e^-t / tau x+t^2tau^2 y), onde B0 e tau são constantes.
Determine o fluxo magnético que o campo gera em uma volta do solenoide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um solenoide alinhado com o eixo B = B0(e^-t / tau x + t^2tau^2 y) , com diâmetro interno , espiras e comprimento total . Esse solenoide está conectado a uma resistência externa e está imerso num campo magnético que muda com o tempo, dado por:
O que precisamos descobrir é o fluxo magnético que esse campo gera em uma única espira do solenoide. Vamos usar conceitos de fluxo magnético e geometria do solenoide para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o fluxo magnético ( Phi = B cdot A ) através de uma espira é dado pela integral do produto escalar do campo magnético ( ) pela área ( ) da espira:
Aqui, a área da espira está alinhada com o eixo , já que o solenoide está orientado nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular a área de uma única espira do solenoide. Como a espira é circular, a área A = pi (D2)^2 = pi D^24 é:
Então, a área de uma volta é .

Passo 4

Agora, vamos analisar o campo magnético B = B0e^-t / tau x + B0 t^2tau^2 y . Ele tem duas componentes:
Como a área da espira está alinhada com , apenas a componente do campo contribui para o fluxo magnético. A componente é perpendicular à área e, portanto, não contribui para o fluxo.

Passo 5

Então, o fluxo magnético Phi = Bx cdot A = B0e^-t / tau cdot pi D^24 através de uma espira é:
Substituímos pela sua expressão e pela área que calculamos.

Resposta

O fluxo magnético gerado pelo campo em uma volta do solenoide é:
Phi = pi D^2 B04 , e^-t / tau

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