A figura mostra a seção reta de um condutor cilíndrico, oco, de raios
e
, que conduz uma corrente
uniformemente distribuída e entrando para dentro da página. Determine:
O vetor força magnética
sobre uma partícula com carga elétrica
e velocidade
na região oca do cilíndro condutor
.
O vetor força magnética
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico oco com raios internos
e externos
, e uma corrente
entrando na página de forma uniforme. O objetivo aqui é encontrar a força magnética
que atua sobre uma partícula com carga
e velocidade
na região oca do cilindro, ou seja, quando a distância
do centro é menor que
(
). Vamos usar conceitos de campo magnético e força magnética para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético
na região onde a partícula está, ou seja, para
. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético a corrente que passa por um caminho fechado.
A Lei de Ampère é dada por:
onde
é a permeabilidade do vácuo e
é a corrente total que atravessa o caminho escolhido.
Passo 3
Vamos escolher um caminho circular de raio
menor que
(já que
), concentrado no centro do cilindro. Como o campo magnético em um condutor cilíndrico é simétrico e tangencial ao caminho escolhido, a integral se simplifica.
Então, a Lei de Ampère fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a corrente
que passa pelo caminho de raio
. Como a corrente é distribuída uniformemente pelo cilindro entre
e
, a densidade de corrente
é:
Isso porque a corrente total
está distribuída na área da seção transversal do cilindro oco, que é
.
Passo 5
Para encontrar
, multiplicamos a densidade de corrente
pela área do caminho que captura a corrente, que é a área entre
e
(já que
é o raio interno). Então:
Passo 6
Substituindo
na equação da Lei de Ampère:
Isolando
:
Passo 7
Agora que temos o campo magnético
na região oca (
), podemos encontrar a força magnética
sobre a partícula carregada usando a Lei de Lorentz:
Como a corrente está entrando na página, o campo
circula ao redor do cilindro seguindo a regra da mão direita.
Passo 8
Assumindo que a velocidade
da partícula é perpendicular ao campo magnético
, a magnitude da força magnética é:
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
A força magnética sobre a partícula na região oca do cilindro é dada por: