A figura mostra a seção reta de um condutor cilíndrico, oco, de raios e , que conduz uma corrente uniformemente distribuída e entrando para dentro da página. Determine:
O vetor força magnética sobre uma partícula com carga elétrica e velocidade na região oca do cilíndro condutor .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico oco com raios internos e externos , e uma corrente entrando na página de forma uniforme. O objetivo aqui é encontrar a força magnética que atua sobre uma partícula com carga e velocidade na região oca do cilindro, ou seja, quando a distância do centro é menor que ( ). Vamos usar conceitos de campo magnético e força magnética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético na região onde a partícula está, ou seja, para . Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético a corrente que passa por um caminho fechado.
A Lei de Ampère é dada por:
onde é a permeabilidade do vácuo e é a corrente total que atravessa o caminho escolhido.

Passo 3

Vamos escolher um caminho circular de raio menor que (já que ), concentrado no centro do cilindro. Como o campo magnético em um condutor cilíndrico é simétrico e tangencial ao caminho escolhido, a integral se simplifica.
Então, a Lei de Ampère fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar a corrente que passa pelo caminho de raio . Como a corrente é distribuída uniformemente pelo cilindro entre e , a densidade de corrente é:
Isso porque a corrente total está distribuída na área da seção transversal do cilindro oco, que é .

Passo 5

Para encontrar , multiplicamos a densidade de corrente pela área do caminho que captura a corrente, que é a área entre e (já que é o raio interno). Então:

Passo 6

Substituindo na equação da Lei de Ampère:
Isolando :

Passo 7

Agora que temos o campo magnético na região oca ( ), podemos encontrar a força magnética sobre a partícula carregada usando a Lei de Lorentz:
Como a corrente está entrando na página, o campo circula ao redor do cilindro seguindo a regra da mão direita.

Passo 8

Assumindo que a velocidade da partícula é perpendicular ao campo magnético , a magnitude da força magnética é:
Substituindo o valor de que encontramos:

Resposta

A força magnética sobre a partícula na região oca do cilindro é dada por:

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