A figura mostra a seção reta de um condutor cilíndrico, oco, de raios a e b, que conduz uma corrente I uniformemente distribuída e entrando para dentro da página. Determine:
O vetor força magnética FB(r) sobre uma partícula com carga elétrica q e velocidade v na região oca do cilíndro condutor (r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um condutor cilíndrico oco com raios internos a e externos b, e uma corrente I entrando na página de forma uniforme. O objetivo aqui é encontrar a força magnética FB(r) que atua sobre uma partícula com carga q e velocidade v na região oca do cilindro, ou seja, quando a distância r do centro é menor que b ( r < b). Vamos usar conceitos de campo magnético e força magnética para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o campo magnético B na região onde a partícula está, ou seja, para r < b. Para isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético a corrente que passa por um caminho fechado.
A Lei de Ampère é dada por:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
onde mu0 é a permeabilidade do vácuo e Ienc é a corrente total que atravessa o caminho escolhido.

Passo 3

Vamos escolher um caminho circular de raio r menor que b (já que r < b), concentrado no centro do cilindro. Como o campo magnético em um condutor cilíndrico é simétrico e tangencial ao caminho escolhido, a integral se simplifica.
Então, a Lei de Ampère fica:
B cdot 2pi r = mu0 Ienc

Passo 4

Agora, precisamos determinar a corrente Ienc que passa pelo caminho de raio r. Como a corrente é distribuída uniformemente pelo cilindro entre a e b, a densidade de corrente J é:
J = Ipi (b^2 - a^2)
Isso porque a corrente total I está distribuída na área da seção transversal do cilindro oco, que é pi (b^2 - a^2).

Passo 5

Para encontrar Ienc, multiplicamos a densidade de corrente J pela área do caminho que captura a corrente, que é a área entre a e r (já que a é o raio interno). Então:
Ienc = J cdot pi (r^2 - a^2) = Ipi (b^2 - a^2) cdot pi (r^2 - a^2) = I cdot r^2 - a^2b^2 - a^2

Passo 6

Substituindo Ienc na equação da Lei de Ampère:
B cdot 2pi r = mu0 I cdot r^2 - a^2b^2 - a^2
Isolando B:
B = mu0 I (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)

Passo 7

Agora que temos o campo magnético B na região oca ( r < b), podemos encontrar a força magnética FB sobre a partícula carregada usando a Lei de Lorentz:
FB = q v times B
Como a corrente está entrando na página, o campo B circula ao redor do cilindro seguindo a regra da mão direita.

Passo 8

Assumindo que a velocidade v da partícula é perpendicular ao campo magnético B, a magnitude da força magnética é:
FB = q v B
Substituindo o valor de B que encontramos:
FB = q v cdot mu0 I (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)

Resposta

A força magnética sobre a partícula na região oca do cilindro é dada por:
FB(r) = q v cdot mu0 I (r^2 - a^2)2pi r (b^2 - a^2)

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