Considere a solução para o oscilador harmônico amortecido forçado, x(t)=F0m 1raiz(omega^2-omega0^2)^2+gamma^2 omega^2 cos (omega t+phi)+ parte transiente. (a) Para que valor da frequência angular omega, um oscilador forçado tem sua amplitude máxima de vibração (solução apenas algébrica)? ( 0,5 ) (b) Para qùe frequência angular omega a velocidade tem a maior amplitude? (0,5) Sugestão, lembre que maximizar uma função é equivalente a maximizar o quadrado dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico amortecido forçado. A gente vai trabalhar com frequência angular e amplitude das vibrações. Precisamos usar cálculo para maximizar certas funções relacionadas à amplitude e à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (a): queremos encontrar o valor da frequência angular omega que faz com que a amplitude de vibração seja máxima. A amplitude está dada por:
A(omega) = F0m cdot 1raiz(omega^2 - omega0^2)^2 + gamma^2 omega^2

Passo 3

Para encontrar o máximo de A(omega), é mais fácil trabalhar com A^2(omega), já que maximizar uma função é equivalente a maximizar o seu quadrado. Então:
A^2(omega) = ( F0m )^2 cdot 1(omega^2 - omega0^2)^2 + gamma^2 omega^2

Passo 4

Como queremos maximizar A^2(omega), vamos minimizar o denominador:
(omega^2 - omega0^2)^2 + gamma^2 omega^2

Passo 5

Vamos chamar esse denominador de D(omega):
D(omega) = (omega^2 - omega0^2)^2 + gamma^2 omega^2
Para minimizar D(omega), derivamos em relação a omega e igualamos a zero.

Passo 6

Calculando a derivada de D(omega):
dDdomega = 2(omega^2 - omega0^2) cdot 2omega + 2gamma^2 omega
Simplificando:
dDdomega = 4omega (omega^2 - omega0^2) + 2gamma^2 omega

Passo 7

Fatorando omega:
dDdomega = omega (4(omega^2 - omega0^2) + 2gamma^2)
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
omega (4(omega^2 - omega0^2) + 2gamma^2) = 0

Passo 8

As soluções são:
  1. omega = 0
  2. 4(omega^2 - omega0^2) + 2gamma^2 = 0
Ignoramos omega = 0 porque não faz sentido físico nesse contexto. Então:
4omega^2 - 4omega0^2 + 2gamma^2 = 0

Passo 9

Resolvendo para omega^2:
4omega^2 = 4omega0^2 - 2gamma^2
omega^2 = omega0^2 - gamma^22

Passo 10

Portanto, a frequência angular que maximiza a amplitude é:
omega = raiz omega0^2 - gamma^22

Resposta

Para a parte (a), a frequência angular que maximiza a amplitude de vibração é
omega = raiz omega0^2 - gamma^22

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