Considere a solução para o oscilador harmônico amortecido forçado,
parte transiente. (a) Para que valor da frequência angular
, um oscilador forçado tem sua amplitude máxima de vibração (solução apenas algébrica)? ( 0,5 ) (b) Para qùe frequência angular
a velocidade tem a maior amplitude?
Sugestão, lembre que maximizar uma função é equivalente a maximizar o quadrado dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico amortecido forçado. A gente vai trabalhar com frequência angular e amplitude das vibrações. Precisamos usar cálculo para maximizar certas funções relacionadas à amplitude e à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (a): queremos encontrar o valor da frequência angular
que faz com que a amplitude de vibração seja máxima. A amplitude está dada por:
Passo 3
Para encontrar o máximo de
, é mais fácil trabalhar com
, já que maximizar uma função é equivalente a maximizar o seu quadrado. Então:
Passo 4
Como queremos maximizar
, vamos minimizar o denominador:
Passo 5
Vamos chamar esse denominador de
:
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando
:
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
Passo 8
As soluções são:
Ignoramos
porque não faz sentido físico nesse contexto. Então:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Portanto, a frequência angular que maximiza a amplitude é:
Resposta
Para a parte (a), a frequência angular que maximiza a amplitude de vibração é
Exercícios relacionados
Para Franklin as nuvens possuem pequenas diferenças de constituição, logo, o atrito entre elas as eletriza. Portanto, baseado no seu modelo, deveriam existir nuvens poṣitivas e nuvens negativas. Isso justifica eventuais raios de uma nuvem para outra.
1.( ) Franklin teve a idéia de considerar os raios uma descarga elétrica quando promoveu uma grande descarga elétrica de uma bateria de garrafas de Leyden, o que emitiu luz e som como um fraco raio e um fraco trovão.
1.( ) Franklin teve a idéia de considerar os raios uma descarga elétrica quando promoveu uma grande descarga elétrica de uma bateria de garrafas de Leyden, o que emitiu luz e som como um fraco raio e um fraco trovão.
Benjamin Franklin foi um fisico norte-americano que criou uma excelente teoria a respeito dos comportamentos elétricos. Utilizando a série triboelétrica, determine as proposições verdadeiras
e as falsas ( F ) sobre os processos de eletrização, através da concepção de Franklin.
6. ( ) Um corpo de vidro atritado em algodão eletriza um corpo negativamente através do processo de contato.
6. ( ) Um corpo de vidro atritado em algodão eletriza um corpo negativamente através do processo de contato.
Para Franklin as nuvens possuem pequenas diferenças de constituição, logo, o atrito entre elas as eletriza. Portanto, baseado no seu modelo, deveriam existir nuvens poṣitivas e nuvens negativas. Isso justifica eventuais raios de uma nuvem para outra.
8.( ) Se você estiver em um campo, é melhor ficar em pé do que deitado, no caso de uma tempestade elétrica formar-se sobre você.
8.( ) Se você estiver em um campo, é melhor ficar em pé do que deitado, no caso de uma tempestade elétrica formar-se sobre você.
O fator de compressibilidade de um gás real, a 400 K e sob pressão de 120 atm é igual a 0,75 . Qual o volume molar do gás?