Considere a solução para o oscilador harmônico amortecido forçado, parte transiente. (a) Para que valor da frequência angular , um oscilador forçado tem sua amplitude máxima de vibração (solução apenas algébrica)? ( 0,5 ) (b) Para qùe frequência angular a velocidade tem a maior amplitude? Sugestão, lembre que maximizar uma função é equivalente a maximizar o quadrado dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico amortecido forçado. A gente vai trabalhar com frequência angular e amplitude das vibrações. Precisamos usar cálculo para maximizar certas funções relacionadas à amplitude e à velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parte (a): queremos encontrar o valor da frequência angular que faz com que a amplitude de vibração seja máxima. A amplitude está dada por:

Passo 3

Para encontrar o máximo de , é mais fácil trabalhar com , já que maximizar uma função é equivalente a maximizar o seu quadrado. Então:

Passo 4

Como queremos maximizar , vamos minimizar o denominador:

Passo 5

Vamos chamar esse denominador de :
Para minimizar , derivamos em relação a e igualamos a zero.

Passo 6

Calculando a derivada de :
Simplificando:

Passo 7

Fatorando :
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:

Passo 8

As soluções são:
Ignoramos porque não faz sentido físico nesse contexto. Então:

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Portanto, a frequência angular que maximiza a amplitude é:

Resposta

Para a parte (a), a frequência angular que maximiza a amplitude de vibração é

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