Considere a solução para o oscilador harmônico amortecido forçado,
parte transiente. (a) Para que valor da frequência angular
, um oscilador forçado tem sua amplitude máxima de vibração (solução apenas algébrica)? ( 0,5 ) (b) Para qùe frequência angular
a velocidade tem a maior amplitude?
Sugestão, lembre que maximizar uma função é equivalente a maximizar o quadrado dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico amortecido forçado. A gente vai trabalhar com frequência angular e amplitude das vibrações. Precisamos usar cálculo para maximizar certas funções relacionadas à amplitude e à velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parte (a): queremos encontrar o valor da frequência angular
que faz com que a amplitude de vibração seja máxima. A amplitude está dada por:
Passo 3
Para encontrar o máximo de
, é mais fácil trabalhar com
, já que maximizar uma função é equivalente a maximizar o seu quadrado. Então:
Passo 4
Como queremos maximizar
, vamos minimizar o denominador:
Passo 5
Vamos chamar esse denominador de
:
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero.
Passo 6
Calculando a derivada de
:
Simplificando:
Passo 7
Fatorando
:
Para encontrar os extremos, igualamos a derivada a zero:
Passo 8
As soluções são:
Ignoramos
porque não faz sentido físico nesse contexto. Então:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Portanto, a frequência angular que maximiza a amplitude é:
Resposta
Para a parte (a), a frequência angular que maximiza a amplitude de vibração é