Considere a soma abaixo, em que foram escritas apenas as dez primeiras parcelas: S=1 +(0) -2+(-1)+3+ (-2) +4+(-3) +5+(-4) +… Qual é o menor número de parcelas S que se devem ser somadas, na ordem apresentada acima, para que se obtenha um resultado maior do que 160?
a) 159
b) 160
c) 161
d) 320
e) 321
a) 159
b) 160
c) 161
d) 320
e) 321
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma soma com várias parcelas alternando entre números positivos e negativos. O objetivo é descobrir quantas parcelas precisamos somar, seguindo a ordem apresentada, para que a soma total seja maior que 160. Vamos usar conceitos de sequência e séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é formada a soma:
Observando bem, percebemos que a soma alterna entre adicionar e subtrair números. Para facilitar, vamos listar as primeiras parcelas e ver se identificamos um padrão.
Passo 3
Vamos listar as primeiras parcelas e calcular a soma progressivamente:
- 1 → Soma: 1
- 0 → Soma: 1 + 0 = 1
- -2 → Soma: 1 + 0 - 2 = -1
- -1 → Soma: -1 + (-1) = -2
- 3 → Soma: -2 + 3 = 1
- -2 → Soma: 1 + (-2) = -1
- 4 → Soma: -1 + 4 = 3
- -3 → Soma: 3 + (-3) = 0
- 5 → Soma: 0 + 5 = 5
- -4 → Soma: 5 + (-4) = 1
Vemos que a soma está oscilando: aumentando e diminuindo conforme adicionamos mais parcelas.
Passo 4
Agora, vamos tentar identificar um padrão nessa oscilação. Observando os resultados das somas:
1, 1, -1, -2, 1, -1, 3, 0, 5, 1, …
Parece que a cada duas parcelas a soma aumenta em 1:
- Após duas parcelas: 1
- Após quatro parcelas: -2
- Após seis parcelas: -1
- Após oito parcelas: 0
- Após dez parcelas: 1
Vamos verificar se essa tendência continua.
Passo 5
Continuando a soma para mais parcelas:
- 6 → Soma: 1 + (-5) = -4
- -5 → Soma: -4 + 6 = 2
- 7 → Soma: 2 + (-6) = -4
- -6 → Soma: -4 + 7 = 3
- 8 → Soma: 3 + (-7) = -4
- -7 → Soma: -4 + 8 = 4
- 9 → Soma: 4 + (-8) = -4
- -8 → Soma: -4 + 9 = 5
- 10 → Soma: 5 + (-9) = -4
- -9 → Soma: -4 + 10 = 6
Vemos que a soma após cada par de parcelas está aumentando em 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…
Passo 6
Observando o padrão, percebemos que a cada duas parcelas adicionadas, a soma total aumenta em 1. Então, para que a soma seja maior que 160, precisamos que:
Como cada par consiste em duas parcelas, o número total de parcelas necessárias é:
Passo 7
No entanto, precisamos que a soma seja maior que 160, então precisamos de mais uma parcela após formar esses 160 pares:
Resposta
A menor quantidade de parcelas necessárias é 321.