Considere a soma abaixo, em que foram escritas apenas as dez primeiras parcelas: S=1 +(0) -2+(-1)+3+ (-2) +4+(-3) +5+(-4) +… Qual é o menor número de parcelas S que se devem ser somadas, na ordem apresentada acima, para que se obtenha um resultado maior do que 160?
a) 159
b) 160
c) 161
d) 320
e) 321​

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar uma soma com várias parcelas alternando entre números positivos e negativos. O objetivo é descobrir quantas parcelas precisamos somar, seguindo a ordem apresentada, para que a soma total seja maior que 160. Vamos usar conceitos de sequência e séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é formada a soma:
S = 1 + 0 - 2 + (-1) + 3 - 2 + 4 - 3 + 5 - 4 + dots
Observando bem, percebemos que a soma alterna entre adicionar e subtrair números. Para facilitar, vamos listar as primeiras parcelas e ver se identificamos um padrão.

Passo 3

Vamos listar as primeiras parcelas e calcular a soma progressivamente:
  1. 1 → Soma: 1
  2. 0 → Soma: 1 + 0 = 1
  3. -2 → Soma: 1 + 0 - 2 = -1
  4. -1 → Soma: -1 + (-1) = -2
  5. 3 → Soma: -2 + 3 = 1
  6. -2 → Soma: 1 + (-2) = -1
  7. 4 → Soma: -1 + 4 = 3
  8. -3 → Soma: 3 + (-3) = 0
  9. 5 → Soma: 0 + 5 = 5
  10. -4 → Soma: 5 + (-4) = 1
Vemos que a soma está oscilando: aumentando e diminuindo conforme adicionamos mais parcelas.

Passo 4

Agora, vamos tentar identificar um padrão nessa oscilação. Observando os resultados das somas:
1, 1, -1, -2, 1, -1, 3, 0, 5, 1, …
Parece que a cada duas parcelas a soma aumenta em 1:
  • Após duas parcelas: 1
  • Após quatro parcelas: -2
  • Após seis parcelas: -1
  • Após oito parcelas: 0
  • Após dez parcelas: 1
Vamos verificar se essa tendência continua.

Passo 5

Continuando a soma para mais parcelas:
  1. 6 → Soma: 1 + (-5) = -4
  2. -5 → Soma: -4 + 6 = 2
  3. 7 → Soma: 2 + (-6) = -4
  4. -6 → Soma: -4 + 7 = 3
  5. 8 → Soma: 3 + (-7) = -4
  6. -7 → Soma: -4 + 8 = 4
  7. 9 → Soma: 4 + (-8) = -4
  8. -8 → Soma: -4 + 9 = 5
  9. 10 → Soma: 5 + (-9) = -4
  10. -9 → Soma: -4 + 10 = 6
Vemos que a soma após cada par de parcelas está aumentando em 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…

Passo 6

Observando o padrão, percebemos que a cada duas parcelas adicionadas, a soma total aumenta em 1. Então, para que a soma seja maior que 160, precisamos que:
Número de pares = 160 ú
Como cada par consiste em duas parcelas, o número total de parcelas necessárias é:
n = 2 times 160 = 320

Passo 7

No entanto, precisamos que a soma seja maior que 160, então precisamos de mais uma parcela após formar esses 160 pares:
n = 320 + 1 = 321

Resposta

A menor quantidade de parcelas necessárias é 321.

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