Considere a transformação linear T: R³ -> R² dada por: T(x,y,z)=( x-y-z , 2z-x). Determine uma base para a Ker(T) e uma base para Im(T).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y - z, 2z - x) $. Nosso objetivo é encontrar uma base para o Núcleo (Ker(T)) e uma base para a Imagem (Im(T)) dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como soluções de sistemas lineares e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são Ker(T) e Im(T):
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Ker(T): É o conjunto de todos os vetores de $ \mathbb{R}^3 $ que T manda para o vetor zero em $ \mathbb{R}^2 $. Ou seja, queremos encontrar todos $ (x, y, z) $ tais que $ T(x, y, z) = (0, 0) $.
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Im(T): É o conjunto de todos os vetores em $ \mathbb{R}^2 $ que são imagens de algum vetor em $ \mathbb{R}^3 $ pela transformação T.
Passo 3
Vamos começar encontrando o Ker(T). Precisamos resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema:
- Da segunda equação: $ 2z - x = 0 $
$ x = 2z $. - Substituindo $ x = 2z $ na primeira equação: $ 2z - y - z = 0 $
$ z - y = 0 $ $ y = z $.
Passo 5
Então, todas as soluções do sistema podem ser expressas em termos de $ z $:
Podemos escrever o vetor $ (x, y, z) $ como:
Passo 6
Isso significa que o Ker(T) é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor $ (2, 1, 1) $. Portanto, uma base para Ker(T) é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a Im(T). A imagem de T é gerada por todas as imagens dos vetores da base de $ \mathbb{R}^3 $. Vamos aplicar T aos vetores canônicos:
- $ T(1,0,0) = (1 - 0 - 0, 0 - 1) = (1, -1) $
- $ T(0,1,0) = (0 - 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 0) $
- $ T(0,0,1) = (0 - 0 - 1, 2 - 0) = (-1, 2) $
Passo 8
Vamos ver se esses vetores são lineares independentes. Observamos que $ T(0,0,1) = (-1, 2) $ pode ser escrito como uma combinação dos outros:
Isso mostra que há dependência linear, então podemos escolher apenas dois vetores que geram a Im(T). Por exemplo, $ (1, -1) $ e $ (-1, 0) $.
Passo 9
Portanto, uma base para Im(T) é formada por esses dois vetores:
Resposta
Base para Ker(T):
Base para Im(T):