Considere a transformação linear T: R³ -> R² dada por: T(x,y,z)=( x-y-z , 2z-x). Determine uma base para a Ker(T) e uma base para Im(T).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformações Lineares! A gente tem uma transformação $ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 $ definida por $ T(x, y, z) = (x - y - z, 2z - x) $. Nosso objetivo é encontrar uma base para o Núcleo (Ker(T)) e uma base para a Imagem (Im(T)) dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como soluções de sistemas lineares e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são Ker(T) e Im(T):
  • Ker(T): É o conjunto de todos os vetores de $ \mathbb{R}^3 $ que T manda para o vetor zero em $ \mathbb{R}^2 $. Ou seja, queremos encontrar todos $ (x, y, z) $ tais que $ T(x, y, z) = (0, 0) $.
  • Im(T): É o conjunto de todos os vetores em $ \mathbb{R}^2 $ que são imagens de algum vetor em $ \mathbb{R}^3 $ pela transformação T.

Passo 3

Vamos começar encontrando o Ker(T). Precisamos resolver o sistema de equações:
T(x, y, z) = x - y - z = 0 2z - x = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação: $ 2z - x = 0 $ 2z - x = 0 $ x = 2z $.
  2. Substituindo $ x = 2z $ na primeira equação: $ 2z - y - z = 0 $ Rightarrow $ z - y = 0 $ x = 2z $ y = z $.

Passo 5

Então, todas as soluções do sistema podem ser expressas em termos de $ z $:
z
Podemos escrever o vetor $ (x, y, z) $ como:
x = 2z y = z z = z

Passo 6

Isso significa que o Ker(T) é o conjunto de todos os múltiplos escalares do vetor $ (2, 1, 1) $. Portanto, uma base para Ker(T) é:
(2, 1, 1)

Passo 7

Agora, vamos encontrar a Im(T). A imagem de T é gerada por todas as imagens dos vetores da base de $ \mathbb{R}^3 $. Vamos aplicar T aos vetores canônicos:
  1. $ T(1,0,0) = (1 - 0 - 0, 0 - 1) = (1, -1) $
  2. $ T(0,1,0) = (0 - 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 0) $
  3. $ T(0,0,1) = (0 - 0 - 1, 2 - 0) = (-1, 2) $

Passo 8

Vamos ver se esses vetores são lineares independentes. Observamos que $ T(0,0,1) = (-1, 2) $ pode ser escrito como uma combinação dos outros:
T(0,0,1) = (-1, 2)
Isso mostra que há dependência linear, então podemos escolher apenas dois vetores que geram a Im(T). Por exemplo, $ (1, -1) $ e $ (-1, 0) $.

Passo 9

Portanto, uma base para Im(T) é formada por esses dois vetores:
, (1, -1), (-1, 0) ,

Resposta

Base para Ker(T):
, (2, 1, 1) ,
Base para Im(T):
, (1, -1), (-1, 0) ,

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