Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Determine o comprimento das projeções dos catetos desse triângulo sobre a hipotenusa, sabendo que AB = 9cm, AC = 12cm e que o comprimento da altura relativa à hipotenusa é 7,2cm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo ABC, onde o ângulo em A é 90 graus. Os lados AB e AC medem 9 cm e 12 cm, respectivamente. Além disso, a altura relativa à hipotenusa (que é BC) mede 7,2 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto mede a projeção dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa BC. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades de projeções em triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja:
Substituindo os valores que a gente tem:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Agora sabemos que a hipotenusa BC mede 15 cm.
Passo 3
Agora, vamos falar das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. A projeção de um cateto sobre a hipotenusa é basicamente o comprimento que esse cateto “alcança” na hipotenusa quando ele é projetado perpendicularmente.
Vamos chamar a projeção do cateto AB sobre BC de $ m $ e a projeção do cateto AC sobre BC de $ n $. Sabemos que:
Além disso, existe uma relação entre essas projeções e a altura relativa à hipotenusa (que chamamos de $ h $):
Substituindo o valor da altura:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
- $ m + n = 15 $
- $ m \cdot n = 51,84 $
Podemos resolver esse sistema usando a fórmula de Bhaskara. Vamos substituir $ n $ por $ 15 - m $ na segunda equação:
Rearranjando:
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ m^2 - 15m + 51,84 = 0 $:
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
- $ m = \frac{15 + 4,2}{2} = \frac{19,2}{2} = 9,6 , cm $
- $ m = \frac{15 - 4,2}{2} = \frac{10,8}{2} = 5,4 , cm $
Resposta
As projeções dos catetos sobre a hipotenusa são 9,6 cm e 5,4 cm.