Considere o triângulo ABC, retângulo em A. Determine o comprimento das projeções dos catetos desse triângulo sobre a hipotenusa, sabendo que AB = 9cm, AC = 12cm e que o comprimento da altura relativa à hipotenusa é 7,2cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo ABC, onde o ângulo em A é 90 graus. Os lados AB e AC medem 9 cm e 12 cm, respectivamente. Além disso, a altura relativa à hipotenusa (que é BC) mede 7,2 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto mede a projeção dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa BC. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Pitágoras e algumas propriedades de projeções em triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Pitágoras, que diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja:
BC^2 = AB^2 + AC^2
Substituindo os valores que a gente tem:
BC^2 = 9^2 + 12^2
BC^2 = 81 + 144
BC^2 = 225
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
BC = raiz225
BC = 15 , cm
Agora sabemos que a hipotenusa BC mede 15 cm.

Passo 3

Agora, vamos falar das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. A projeção de um cateto sobre a hipotenusa é basicamente o comprimento que esse cateto “alcança” na hipotenusa quando ele é projetado perpendicularmente.
Vamos chamar a projeção do cateto AB sobre BC de $ m $ e a projeção do cateto AC sobre BC de $ n $. Sabemos que:
m
n
Além disso, existe uma relação entre essas projeções e a altura relativa à hipotenusa (que chamamos de $ h $):
m + n = BC
Substituindo o valor da altura:
m + n = 15 , cm
h

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ m + n = 15 $
  2. $ m \cdot n = 51,84 $
Podemos resolver esse sistema usando a fórmula de Bhaskara. Vamos substituir $ n $ por $ 15 - m $ na segunda equação:
m + n = 15
m cdot n = 51,84
Rearranjando:
n

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática $ m^2 - 15m + 51,84 = 0 $:
m^2 - 15m + 51,84 = 0
Calculando o discriminante:
m = 15 pm raiz15^2 - 4 cdot 1 cdot 51,842
Então:
raiz225 - 207,36 = raiz17,64 = 4,2
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ m = \frac{15 + 4,2}{2} = \frac{19,2}{2} = 9,6 , cm $
  2. $ m = \frac{15 - 4,2}{2} = \frac{10,8}{2} = 5,4 , cm $

Resposta

As projeções dos catetos sobre a hipotenusa são 9,6 cm e 5,4 cm.

Exercícios relacionados