Considere que a variável aleatória contínua X seja descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.):
f(x)= 0,5 cos (x), & se -pi2á
Com base nessa definição, resolva os itens a seguir:
Encontre o valor de x tal que P(X, indicando o raciocínio adotado no cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
X á
O conteúdo que vamos usar aqui é de Probabilidade e especificamente sobre funções densidade de probabilidade e distribuição acumulada. Precisamos encontrar o valor de $ x $ tal que a probabilidade $ P(X < x) = 0,95 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto $ x $. Para encontrar a probabilidade acumulada até um certo ponto $ x $, usamos a função de distribuição acumulada (CDF), que é a integral da f.d.p. de x até $ x $.
Então, a CDF $ F(x) $ é dada por:
x

Passo 3

Vamos calcular essa integral. A f.d.p. é $ 0,5 \cos(t) $, então:
0,5 cos(t)
A integral de $ \cos(t) $ é $ \sin(t) $, então:
F(x) = integral-pi2^x 0,5 cos(t) , dt
Sabemos que $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, então:
cos(t)

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ x $ tal que $ F(x) = 0,95 $:
x
Subtraindo 0,5 de ambos os lados:
F(x) = 0,95
Dividindo por 0,5:
0,5 sin(x) + 0,5 = 0,95

Passo 5

Para encontrar $ x $, tiramos o arco seno de 0,9:
x
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
x = arcsin(0,9)

Resposta

O valor de $ x $ tal que $ P(X < x) = 0,95 $ é aproximadamente $ x \approx 1,12 $ radianos.

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