Considere que a variável aleatória contínua
seja descrita pela seguinte função densidade de probabilidade (f.d.p.):
Com base nessa definição, resolva os itens a seguir:
Encontre o valor de
tal que
, indicando o raciocínio adotado no cálculo.
Encontre o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Probabilidade e especificamente sobre funções densidade de probabilidade e distribuição acumulada. Precisamos encontrar o valor de $ x $ tal que a probabilidade $ P(X < x) = 0,95 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função densidade de probabilidade (f.d.p.). Ela nos dá a “densidade” de probabilidade em cada ponto $ x $. Para encontrar a probabilidade acumulada até um certo ponto $ x $, usamos a função de distribuição acumulada (CDF), que é a integral da f.d.p. de
até $ x $.
Então, a CDF $ F(x) $ é dada por:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. A f.d.p. é $ 0,5 \cos(t) $, então:
A integral de $ \cos(t) $ é $ \sin(t) $, então:
Sabemos que $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $, então:
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ x $ tal que $ F(x) = 0,95 $:
Subtraindo 0,5 de ambos os lados:
Dividindo por 0,5:
Passo 5
Para encontrar $ x $, tiramos o arco seno de 0,9:
Calculando isso, obtemos aproximadamente:
Resposta
O valor de $ x $ tal que $ P(X < x) = 0,95 $ é aproximadamente $ x \approx 1,12 $ radianos.