Seja uma variável aleatória X com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
FX(x)= 0 ; & x<2,0 0,1 ; & 2,0 <= x<5,0 0,35 ; & 5,0 <= x<9,0 0,65 ; & 9,0 <= x<13,0 0,9 ; & 13,0 <= x<16,0 1,0 ; & x >= 16,0
Determine sua função de probabilidades.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ definida por partes. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidades dessa variável, que basicamente nos diz a probabilidade de $ X $ assumir cada valor específico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de distribuição acumulada e função de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Ela nos dá a probabilidade de que a variável $ X $ seja menor ou igual a um valor $ x $, ou seja, $ F_X(x) = P(X \leq x) $. Quando a $ F_X(x) $ tem “saltos” ou aumentos abruptos em certos valores de $ x $, isso indica que a variável $ X $ tem uma probabilidade específica de assumir esses valores. Esses saltos correspondem exatamente às probabilidades que queremos encontrar na função de probabilidades.

Passo 3

Vamos identificar onde a $ F_X(x) $ muda de valor, pois esses pontos são onde $ X $ tem probabilidades não nulas. Olhando para a função dada:
  • Para $ x < 2 $, $ F_X(x) = 0 $
  • Em $ x = 2 $, $ F_X(x) $ passa para 0,1
  • Em $ x = 5 $, sobe para 0,35
  • Em $ x = 9 $, sobe para 0,65
  • Em $ x = 13 $, sobe para 0,9
  • Em $ x = 16 $, sobe para 1,0

Passo 4

Agora, para cada ponto onde ocorre esse salto, a probabilidade $ P(X = x) $ é igual à diferença entre o valor de $ F_X(x) $ naquele ponto e o valor imediatamente anterior. Ou seja:
P(X = x)
Onde $ F_X(x^-) $ é o limite da função à esquerda de $ x $.

Passo 5

Vamos calcular essas diferenças para cada ponto de salto:
  • Em $ x = 2 $:
    x = 2
  • Em $ x = 5 $:
    P(X = 2) = FX(2) - FX(2^-) = 0,1 - 0 = 0,1
  • Em $ x = 9 $:
    x = 5
  • Em $ x = 13 $:
    P(X = 5) = FX(5) - FX(5^-) = 0,35 - 0,1 = 0,25
  • Em $ x = 16 $:
    x = 9

Resposta

Então, a função de probabilidades de $ X $ é:
X á

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