Seja uma variável aleatória
com função de distribuição acumulada dada abaixo. Determine o que se pede:
Determine sua função de probabilidades.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ com a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $ definida por partes. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidades dessa variável, que basicamente nos diz a probabilidade de $ X $ assumir cada valor específico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de distribuição acumulada e função de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Ela nos dá a probabilidade de que a variável $ X $ seja menor ou igual a um valor $ x $, ou seja, $ F_X(x) = P(X \leq x) $. Quando a $ F_X(x) $ tem “saltos” ou aumentos abruptos em certos valores de $ x $, isso indica que a variável $ X $ tem uma probabilidade específica de assumir esses valores. Esses saltos correspondem exatamente às probabilidades que queremos encontrar na função de probabilidades.
Passo 3
Vamos identificar onde a $ F_X(x) $ muda de valor, pois esses pontos são onde $ X $ tem probabilidades não nulas. Olhando para a função dada:
- Para $ x < 2 $, $ F_X(x) = 0 $
- Em $ x = 2 $, $ F_X(x) $ passa para 0,1
- Em $ x = 5 $, sobe para 0,35
- Em $ x = 9 $, sobe para 0,65
- Em $ x = 13 $, sobe para 0,9
- Em $ x = 16 $, sobe para 1,0
Passo 4
Agora, para cada ponto onde ocorre esse salto, a probabilidade $ P(X = x) $ é igual à diferença entre o valor de $ F_X(x) $ naquele ponto e o valor imediatamente anterior. Ou seja:
Onde $ F_X(x^-) $ é o limite da função à esquerda de $ x $.
Passo 5
Vamos calcular essas diferenças para cada ponto de salto:
-
Em $ x = 2 $:
x = 2 -
Em $ x = 5 $:
P(X = 2) = FX(2) - FX(2^-) = 0,1 - 0 = 0,1 -
Em $ x = 9 $:
x = 5 -
Em $ x = 13 $:
P(X = 5) = FX(5) - FX(5^-) = 0,35 - 0,1 = 0,25 -
Em $ x = 16 $:
x = 9
Resposta
Então, a função de probabilidades de $ X $ é: