Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
Verifique á independência das variáveis:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três variáveis aleatórias,
,
e
, com uma função de densidade conjunta definida. A matéria aqui é sobre independência de variáveis aleatórias. Para verificar se essas três variáveis são independentes, precisamos descobrir as funções de densidade marginais de cada uma e ver se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de densidade marginal de
, que chamamos de
. Para isso, integramos a função conjunta em relação a
e
:
Integrando em relação a
:
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
:
Integrando em relação a
novamente dá 1:
Passo 4
Por último, vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
:
Primeiro integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Então:
Passo 5
Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais:
E o produto das marginais é:
Expandindo o produto das marginais:
Claramente,
não é igual a
.
Resposta
Como a função conjunta não é igual ao produto das funções marginais, as variáveis
,
e
não são independentes.