Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
á
Verifique á independência das variáveis:
a)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três variáveis aleatórias, , e , com uma função de densidade conjunta definida. A matéria aqui é sobre independência de variáveis aleatórias. Para verificar se essas três variáveis são independentes, precisamos descobrir as funções de densidade marginais de cada uma e ver se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de densidade marginal de , que chamamos de . Para isso, integramos a função conjunta em relação a e :
Integrando em relação a :
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de , :
Integrando em relação a novamente dá 1:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a função de densidade marginal de , :
Primeiro integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :
Então:

Passo 5

Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais:
E o produto das marginais é:
Expandindo o produto das marginais:
Claramente, não é igual a .

Resposta

Como a função conjunta não é igual ao produto das funções marginais, as variáveis , e não são independentes.

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