Considere a variável aleatória tridimensional cuja densidade é dada por:
f(x1, x2, x3)=cc (x1+x2) e^-x3 & 00 0 & caso contrário á
Verifique á independência das variáveis:
a) X 1, X 2, X 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem três variáveis aleatórias, , e , com uma função de densidade conjunta definida. A matéria aqui é sobre independência de variáveis aleatórias. Para verificar se essas três variáveis são independentes, precisamos descobrir as funções de densidade marginais de cada uma e ver se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de densidade marginal de fX1(x1) = integral0^1 integral0^infty (x1 + x2) e^-x3 , dx3 , dx2 , que chamamos de integral0^infty e^-x3 , dx3 = 1 . Para isso, integramos a função conjunta em relação a fX1(x1) = integral0^1 (x1 + x2) , dx2 = x1 cdot 1 + 12 = x1 + 12 e :
Integrando em relação a :
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de fX2(x2) = integral0^1 integral0^infty (x1 + x2) e^-x3 , dx3 , dx1 , fX2(x2) = integral0^1 (x1 + x2) , dx1 = x2 cdot 1 + 12 = x2 + 12 :
Integrando em relação a novamente dá 1:

Passo 4

Por último, vamos encontrar a função de densidade marginal de fX3(x3) = integral0^1 integral0^1 (x1 + x2) e^-x3 , dx1 , dx2 , integral0^1 (x1 + x2) , dx1 = 12 + x2 :
integral0^1 ( 12 + x2 ) , dx2 = 12 cdot 1 + 12 = 1
Primeiro integramos em relação a fX3(x3) = e^-x3 :
Depois, integramos em relação a :
Então:

Passo 5

Agora que temos as funções marginais, vamos verificar se a função conjunta é igual ao produto dessas marginais:
fX1,X2,X3(x1, x2, x3) = (x1 + x2) e^-x3
E o produto das marginais é:
fX1(x1) cdot fX2(x2) cdot fX3(x3) = ( x1 + 12 ) ( x2 + 12 ) e^-x3
Expandindo o produto das marginais:
( x1 + 12 ) ( x2 + 12 ) = x1x2 + 12x1 + 12x2 + 14
Claramente, não é igual a .

Resposta

Como a função conjunta não é igual ao produto das funções marginais, as variáveis , e não são independentes.

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