Sobre o binômio
, são feitas algumas afirmações. Assinale a única afirmação falsa.
a) É um tipo de binômio em que os sinais são intercalados entre positivos e negativos.
b) É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.
c) É um binômio em que o coeficiente de
é -160 .
d) A soma dos seus coefreflectes é 1
e) Seu termo independente é 64 .
a) É um tipo de binômio em que os sinais são intercalados entre positivos e negativos.
b) É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.
c) É um binômio em que o coeficiente de
d) A soma dos seus coefreflectes é 1
e) Seu termo independente é 64 .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o binômio
e várias afirmações sobre ele. Nosso objetivo é descobrir qual dessas afirmações é falsa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir binômios elevados a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Binômio. Esse teorema nos permite expandir expressões da forma
em uma soma de termos envolvendo combinações e potências de
e
. No nosso caso, temos
, então
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando o teorema. Cada termo da expansão é dado por:
onde
varia de 0 a 6. A combinação
representa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de 6.
Passo 4
Vamos calcular cada termo da expansão:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Juntando todos os termos, a expansão completa do binômio é:
Passo 6
Agora, vamos analisar cada afirmação com base na expansão que obtivemos:
a) É um tipo de binômio em que os sinais são intercalados entre positivos e negativos.
- Observando os sinais dos termos:
, , , , , , . - Verdadeiro.
b) É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.
- Coeficientes: 1, -12, 60, -160, 240, -192, 64.
- O primeiro coeficiente é 1, que é ímpar.
- Falso.
c) É um binômio em que o coeficiente de
é -160.
- Na expansão, o coeficiente de
é -160. - Verdadeiro.
d) A soma dos seus coeficientes é 1.
- Soma:
. - Verdadeiro.
e) Seu termo independente é 64.
- O termo sem
é 64. - Verdadeiro.
Resposta
A única afirmação falsa é a letra b): “É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.” Na verdade, o primeiro coeficiente é 1, que é ímpar.