Sobre o binômio (x-2)^6, são feitas algumas afirmações. Assinale a única afirmação falsa.
a) É um tipo de binômio em que os sinais são intercalados entre positivos e negativos.
b) É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.
c) É um binômio em que o coeficiente de x^3 é -160 .
d) A soma dos seus coefreflectes é 1
e) Seu termo independente é 64 .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos o binômio (x-2)^6 e várias afirmações sobre ele. Nosso objetivo é descobrir qual dessas afirmações é falsa. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Binômio de Newton, que nos ajuda a expandir binômios elevados a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema do Binômio. Esse teorema nos permite expandir expressões da forma (a + b)^n em uma soma de termos envolvendo combinações e potências de a e b. No nosso caso, temos (x - 2)^6, então a = x, b = -2 e n = 6.

Passo 3

Agora, vamos expandir (x - 2)^6 usando o teorema. Cada termo da expansão é dado por:
binom6k cdot x^6-k cdot (-2)^k
onde k varia de 0 a 6. A combinação binom6k representa o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de 6.

Passo 4

Vamos calcular cada termo da expansão:
  • Para k = 0:
    binom60 cdot x^6 cdot (-2)^0 = 1 cdot x^6 cdot 1 = x^6
  • Para k = 1:
    binom61 cdot x^5 cdot (-2)^1 = 6 cdot x^5 cdot (-2) = -12x^5
  • Para k = 2:
    binom62 cdot x^4 cdot (-2)^2 = 15 cdot x^4 cdot 4 = 60x^4
  • Para k = 3:
    binom63 cdot x^3 cdot (-2)^3 = 20 cdot x^3 cdot (-8) = -160x^3
  • Para k = 4:
    binom64 cdot x^2 cdot (-2)^4 = 15 cdot x^2 cdot 16 = 240x^2
  • Para k = 5:
    binom65 cdot x cdot (-2)^5 = 6 cdot x cdot (-32) = -192x
  • Para k = 6:
    binom66 cdot x^0 cdot (-2)^6 = 1 cdot 1 cdot 64 = 64

Passo 5

Juntando todos os termos, a expansão completa do binômio é:
(x - 2)^6 = x^6 - 12x^5 + 60x^4 - 160x^3 + 240x^2 - 192x + 64

Passo 6

Agora, vamos analisar cada afirmação com base na expansão que obtivemos:
a) É um tipo de binômio em que os sinais são intercalados entre positivos e negativos.
  • Observando os sinais dos termos: +, -, +, -, +, -, +.
  • Verdadeiro.
b) É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.
  • Coeficientes: 1, -12, 60, -160, 240, -192, 64.
  • O primeiro coeficiente é 1, que é ímpar.
  • Falso.
c) É um binômio em que o coeficiente de x^3 é -160.
  • Na expansão, o coeficiente de x^3 é -160.
  • Verdadeiro.
d) A soma dos seus coeficientes é 1.
  • Soma: 1 - 12 + 60 - 160 + 240 - 192 + 64 = 1.
  • Verdadeiro.
e) Seu termo independente é 64.
  • O termo sem x é 64.
  • Verdadeiro.

Resposta

A única afirmação falsa é a letra b): “É um binômio em que todos os seus coeficientes são pares.” Na verdade, o primeiro coeficiente é 1, que é ímpar.

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