(a) Construa um intervalo de 95 % de confiança para a média, mu, de precipitação anual.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir um intervalo de confiança de 95% para a média de precipitação anual, que chamaremos de mu. Isso está relacionado com a estatística inferencial, onde queremos estimar um parâmetro da população (neste caso, a média) com base em uma amostra. Para resolver isso, vamos precisar:
  • A média da amostra ( barx)
  • O desvio padrão da amostra ( s) ou o desvio padrão populacional ( sigma) se for conhecido
  • O tamanho da amostra ( n)
  • O nível de confiança desejado (95% aqui)

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá um intervalo dentro do qual acreditamos que a verdadeira média da população ( mu) está, com uma certa confiança (95% nesse caso).

Passo 3

O próximo passo é decidir qual fórmula vamos usar para calcular esse intervalo. Se conhecemos o desvio padrão da população ( sigma), usamos a distribuição normal (Z). Se não conhecemos sigma e usamos o desvio padrão da amostra ( s), usamos a distribuição t de Student.

Passo 4

Vamos supor que não conhecemos o desvio padrão da população. Então, usaremos a distribuição t. A fórmula para o intervalo de confiança fica assim:
barx pm talpha/2 times sraizn
Aqui:
  • barx é a média da amostra
  • talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para o nível de confiança de 95%
  • s é o desvio padrão da amostra
  • n é o tamanho da amostra

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de talpha/2. Para um intervalo de confiança de 95% e n - 1 graus de liberdade, consultamos uma tabela t ou usamos uma calculadora estatística. Por exemplo, se tivermos 20 amostras, os graus de liberdade serão 19.

Passo 6

Depois de ter todos os valores, substituímos na fórmula:
  1. Calculamos a margem de erro: talpha/2 times sraizn
  2. Subtraímos a margem de erro da média da amostra para achar o limite inferior
  3. Somamos a margem de erro à média da amostra para achar o limite superior

Passo 7

Finalmente, o intervalo de confiança será entre esses dois limites. Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira média de precipitação anual mu está dentro desse intervalo.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média de precipitação anual mu é dado por:
barx pm talpha/2 times sraizn
Onde barx é a média da amostra, talpha/2 é o valor crítico da distribuição t para 95% de confiança, s é o desvio padrão da amostra e n é o tamanho da amostra.

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