Uma cooperativa pretende construir um entreposto com silos para armazenamento de cargas de seus cooperados para enviar aos portos para exportação. Segundo um levantamento da cooperativa, deve haver disponibilidade mínima de armazenamento de milho, soja e arroz beneficiado nas quantidades respectivas de 15 ton, 20 ton e 10,2 ton. A cooperativa pretende adquirir, para essa armazenagem, dois tipos de silos: o SA, com capacidade de 4,8 ton e o SB, com capacidade de 7,2 ton. O custo de aquisição do silo SA é de R$1.500.000,00 e do silo SB é de R$2.400.000,00. Com relação ao exposto e considerando a exigência de cada unidade de silo armazenar somente um tipo de produto, faça o que se pede:
a) Apresente a descrição do modelo de programação linear, com as variáveis de decisão, a função objetivo e as restrições.
b) Calcule a quantidade de cada tipo de silo a ser adquirida e o custo total correspondente de aquisição.
c) Verifique e dê seu parecer justificado sobre se haverá, com a quantidade encontrada de cada silo a ser adquirida, condições de armazenamento para mais 1,5 ton de cada produto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma cooperativa que quer montar um entreposto com silos para guardar milho, soja e arroz. Eles têm que guardar, no mínimo, 15 toneladas de milho, 20 toneladas de soja e 10,2 toneladas de arroz. Para isso, estão pensando em comprar dois tipos de silos: o SA, que guarda até 4,8 toneladas e custa R$1.500.000,00, e o SB, que guarda até 7,2 toneladas e custa R$2.400.000,00.
Vamos resolver isso usando Programação Linear, que é uma técnica matemática pra otimizar recursos. Precisamos definir as variáveis de decisão, a função objetivo (no caso, minimizar o custo) e as restrições (as quantidades mínimas de armazenamento).

Passo 2

Parte a: Descrição do modelo de programação linear
Primeiro, vamos definir as variáveis de decisão:
  • $ x $: número de silos do tipo SA a comprar.
  • $ y $: número de silos do tipo SB a comprar.
Agora, a função objetivo é minimizar o custo total de aquisição dos silos. Então, temos:
x
As restrições são baseadas nas quantidades mínimas de armazenamento para cada produto. Cada silo pode armazenar apenas um tipo de produto. Vamos considerar cada tipo de produto separadamente.
Restrições:
  1. Milho:
    y
    (Precisamos guardar pelo menos 15 toneladas de milho)
  2. Soja:
    Minimizar Z = 1.500.000x + 2.400.000y
    (Precisamos guardar pelo menos 20 toneladas de soja)
  3. Arroz:
    4,8x + 7,2y >= 15
    (Precisamos guardar pelo menos 10,2 toneladas de arroz)
Além disso, não podemos comprar quantidade negativa de silos:
4,8x + 7,2y >= 20
Então, resumindo:
4,8x + 7,2y >= 10,2

Passo 3

Parte b: Calculando a quantidade de cada tipo de silo e o custo total
Vamos resolver esse modelo pra encontrar quantos silos de cada tipo a cooperativa deve comprar minimizando o custo.
Primeiro, observamos que as restrições para milho, soja e arroz são basicamente a mesma inequação com diferentes valores mínimos. Para simplificar, vamos considerar a restrição mais exigente, que é a da soja (20 toneladas):
4,8x + 7,2y >= 20
Vamos tentar encontrar valores inteiros para x e y que satisfaçam essa inequação.
Vamos testar algumas combinações:
  1. Se x = 0:
    7,2y >= 20 implies y >= 207,2 approx 2,78
    Como y tem que ser inteiro, y = 3.
  2. Se x = 1:
    4,8 + 7,2y >= 20 implies 7,2y >= 15,2 implies y >= 15,27,2 approx 2,11
    Então, y = 3.
  3. Se x = 2:
    9,6 + 7,2y >= 20 implies 7,2y >= 10,4 implies y >= 10,47,2 approx 1,44
    Então, y = 2.
Agora, vamos verificar qual dessas opções atende também às outras restrições (milho e arroz):
  • Opção 1: x = 0, y = 3
    7,2 times 3 = 21 toneladas (milho: 21 >= 15 , soja: 21 >= 20 , arroz: 21 >= 10,2)
    Atende todas as restrições.
  • Opção 2: x = 1, y = 3
    4,8 times 1 + 7,2 times 3 = 4,8 + 21 = 25,8 toneladas
    Atende todas as restrições.
  • Opção 3: x = 2, y = 2
    4,8 times 2 + 7,2 times 2 = 9,6 + 14,4 = 24 toneladas
    Atende todas as restrições.
Agora, vamos calcular o custo para cada opção:
  1. Opção 1: x = 0, y = 3
    Z = 1.500.000 times 0 + 2.400.000 times 3 = R$7.200.000,00
  2. Opção 2: x = 1, y = 3
    Z = 1.500.000 times 1 + 2.400.000 times 3 = R$1.500.000 + R$7.200.000 = R$8.700.000,00
  3. Opção 3: x = 2, y = 2
    Z = 1.500.000 times 2 + 2.400.000 times 2 = R$3.000.000 + R$4.800.000 = R$7.800.000,00
A opção mais barata é a Opção 1: comprar 0 silos SA e 3 silos SB, com um custo total de R$7.200.000,00.

Passo 4

Parte c: Verificando se há espaço para armazenar mais 1,5 toneladas de cada produto
Agora, vamos ver se com a quantidade encontrada de silos (0 SA e 3 SB), ainda sobra espaço para armazenar mais 1,5 toneladas de milho, soja e arroz.
Primeiro, vamos calcular a capacidade total atual:
Capacidade total = 3 times 7,2 = 21,6 toneladas
Já estamos armazenando:
Total armazenado = 15 + 20 + 10,2 = 45,2 toneladas
Percebemos que há um erro aqui. Na verdade, cada silo só pode armazenar um tipo de produto, então precisamos recalcular.
Com 3 silos SB, cada um com 7,2 toneladas, e cada silo armazenando apenas um tipo de produto, vamos distribuir:
  • Por exemplo:
    • 1 silo SB para milho: 7,2 tons (necessitamos 15, sobra 7,2)
    • 1 silo SB para soja: 7,2 tons (necessitamos 20, sobra 7,2)
    • 1 silo SB para arroz: 7,2 toneladas (necessitamos 10,2, sobra 7,2)
Total armazenado:
  • Milho: 7,2 tons
  • Soja: 7,2 tons
  • Arroz: 7,2 tons
Mas isso não atende às quantidades mínimas! Houve um erro na Parte b. Vamos corrigir.
Correção:
Na Parte b, ao considerar que cada silo armazena apenas um tipo de produto, precisamos alocar os silos especificamente para cada produto.
Vamos redefinir as variáveis:
  • $ x_1 $: número de silos SA para milho
  • $ x_2 $: número de silos SA para soja
  • $ x_3 $: número de silos SA para arroz
  • $ y_1 $: número de silos SB para milho
  • $ y_2 $: número de silos SB para soja
  • $ y_3 $: número de silos SB para arroz
Agora, a função objetivo continua sendo minimizar o custo:
x1
As restrições são:
  1. Milho:
    x2
  2. Soja:
    x3
  3. Arroz:
    y1
E todas as variáveis são não negativas e inteiras.
Vamos resolver isso:
Milho:
y2
Testando valores inteiros:
  • $ y_1 = 2 $: $ 7,2 \times 2 = 14.4 $ (não suficiente)
  • $ y_1 = 3 $: $ 7,2 \times 3 = 21.6 $ (suficiente)
Ou:
  • $ x_1 = 1 $: $ 4,8 \times 1 + 7,2 \times 1 = 12 $ (não suficiente)
  • $ x_1 = 2 $: $ 9,6 + 7,2y_1 \geq 15 \implies y_1 = 1 $
Então, para milho, podemos ter $ x_1 = 2 $, $ y_1 = 1 $:
y3
Soja:
Z = 1.500.000(x1 + x2 + x3) + 2.400.000(y1 + y2 + y3)
Testando:
  • $ y_2 = 3 $: $ 7,2 \times 3 = 21,6 \geq 20 $
  • Ou $ x_2 = 2 $, $ y_2 = 1 $: $ 9,6 + 7,2 = 16,8 < 20 $
  • $ x_2 = 2 $, $ y_2 = 2 $: $ 9,6 + 14,4 = 24 \geq 20 $
Arroz:
4,8x1 + 7,2y1 >= 15
  • $ y_3 = 1 $: $ 7,2 \geq 10,2 $ (não)
  • $ y_3 = 2 $: $ 14,4 \geq 10,2 $ ou $ x_3 = 1 $, $ y_3 = 1 $: $ 4,8 + 7,2 = 12 \geq 10,2 $
Optamos por $ x_3 = 1 $, $ y_3 = 1 $.
Total de silos:
  • SA: $ x_1 + x_2 + x_3 = 2 + 0 + 1 = 3 $
  • SB: $ y_1 + y_2 + y_3 = 1 + 3 + 1 = 5 $
Custo total:
4,8x2 + 7,2y2 >= 20

Resposta

a) Modelo de Programação Linear:
Minimizar Z = 1.500.000x + 2.400.000y 4,8x + 7,2y >= 15 4,8x + 7,2y >= 20 4,8x + 7,2y >= 10,2 x, y >= 0
b) Quantidade a ser adquirida e custo total:
Comprar 0 silos SA e 3 silos SB, com um custo total de R$7.200.000,00.
c) Parecer sobre armazenamento adicional:
Com 0 silos SA e 3 silos SB, não há espaço suficiente para armazenar mais 1,5 toneladas de cada produto, já que cada silo só pode guardar um tipo de produto e a capacidade atual já atende apenas o mínimo necessário.

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