Utilizando seus conhecimentos sobre equação do segundo grau, julgue as afirmativas a seguir como verdadeiras ou falsas.
i – toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.
ii – uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.
iii – quando o valor do delta é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução. (atenção: justifique sua resposta) analisando as afirmativas, podemos afirmar que:
a. todas estão incorretas.
b. somente a afirmativa i está correta.
c. somente a afirmativa ii está correta.
d. somente a afirmativa iii está correta.
e. todas estão corretas.
i – toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.
ii – uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente b ou c é igual a zero.
iii – quando o valor do delta é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução. (atenção: justifique sua resposta) analisando as afirmativas, podemos afirmar que:
a. todas estão incorretas.
b. somente a afirmativa i está correta.
c. somente a afirmativa ii está correta.
d. somente a afirmativa iii está correta.
e. todas estão corretas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício sobre equações do segundo grau. O que a gente precisa fazer é analisar três afirmativas e dizer se elas são verdadeiras ou falsas usando o que sabemos sobre essas equações. Para isso, vamos usar conceitos como soluções reais, equação incompleta e o valor do delta (também conhecido como discriminante). Prontos? Vamos resolver!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma equação do segundo grau. Ela tem a forma geral:
Onde $ a $, $ b $ e $ c $ são coeficientes, e $ a $ não pode ser zero. Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que depende do delta ($ \Delta $):
As soluções da equação dependem do valor de $ \Delta $:
- Se $ \Delta > 0 $: duas soluções reais e distintas.
- Se $ \Delta = 0 $: uma solução real.
- Se $ \Delta < 0 $: nenhuma solução real (as soluções são complexas).
Passo 3
Agora, vamos analisar a afirmativa i:
“Toda equação do segundo grau possui pelo menos uma solução real.”
O que isso quer dizer? Se considerarmos o delta, sabemos que:
- Se $ \Delta \geq 0 $, há soluções reais.
- Se $ \Delta < 0 $, não há soluções reais.
Então, a afirmativa está dizendo que sempre tem pelo menos uma solução real. Mas vimos que se $ \Delta < 0 $, não tem soluções reais. Isso significa que nem toda equação do segundo grau tem pelo menos uma solução real. Portanto, a afirmativa i é falsa.
Passo 4
Vamos para a afirmativa ii:
“Uma equação do segundo grau é conhecida como incompleta quando o coeficiente $ b $ ou $ c $ é igual a zero.”
Uma equação incompleta é aquela que falta um dos termos, ou seja, quando $ b = 0 $ ou $ c = 0 $. Por exemplo:
- Se $ b = 0 $, a equação fica $ ax^2 + c = 0 $.
- Se $ c = 0 $, a equação fica $ ax^2 + bx = 0 $.
Então, de fato, uma equação é chamada de incompleta quando um desses coeficientes é zero. Portanto, a afirmativa ii é verdadeira.
Passo 5
Vamos para a afirmativa iii:
“Quando o valor do delta é um número positivo que não possui raiz quadrada exata, dizemos que a equação não possui solução.”
Aqui, precisamos entender o que significa o delta ser um número positivo sem raiz quadrada exata. Se $ \Delta > 0 $ e não é um quadrado perfeito, ainda temos duas soluções reais e irracionais. Por exemplo, se $ \Delta = 2 $, as soluções serão:
Mesmo sem raiz quadrada exata, as soluções existem no conjunto dos números reais. Então, a equação possui sim solução. A afirmativa iii é falsa.
Resposta
A alternativa correta é c. somente a afirmativa ii está correta.