A coordenação de uma biblioteca afirma que a proporção
de livros do seu acervo publicados antes de 1970 é igual a
. Colhida uma amostra aleatória simples de 256 livros do acervo desta biblioteca. Determine a probabilidade de que a proporção de livros na amostra com data de publicação anterior ao ano de 1970 seja inferior a
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A biblioteca diz que 14% dos livros do acervo foram publicados antes de 1970. Queremos descobrir qual a chance de, ao pegar 256 livros aleatoriamente, menos de 12% deles serem anteriores a 1970.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade de amostragem e distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar:
- Proporção populacional (
): 14% ou 0,14 - Tamanho da amostra (
): 256 - Proporção que queremos comparar (
): 12% ou 0,12
Passo 3
Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da proporção amostral. A média dessa distribuição é igual à proporção populacional
, que já é 0,14.
Para o desvio padrão, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 4
Com a média e o desvio padrão calculados, vamos padronizar a proporção que queremos (12%) para encontrar o valor z correspondente na distribuição normal. Isso nos ajuda a achar a probabilidade desejada.
A fórmula para o cálculo do z é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z na tabela da distribuição normal padrão. Um z de aproximadamente -0,92 corresponde a uma probabilidade de cerca de 0,1790 ou 17,90%.
Isso significa que há aproximadamente 17,90% de chance de que, numa amostra de 256 livros, menos de 12% sejam publicados antes de 1970.
Resposta
A probabilidade de que menos de 12% dos 256 livros amostrados tenham sido publicados antes de 1970 é de aproximadamente 17,90%.