A coordenação de uma biblioteca afirma que a proporção p de livros do seu acervo publicados antes de 1970 é igual a 14 %. Colhida uma amostra aleatória simples de 256 livros do acervo desta biblioteca. Determine a probabilidade de que a proporção de livros na amostra com data de publicação anterior ao ano de 1970 seja inferior a 12 %.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A biblioteca diz que 14% dos livros do acervo foram publicados antes de 1970. Queremos descobrir qual a chance de, ao pegar 256 livros aleatoriamente, menos de 12% deles serem anteriores a 1970.
Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidade de amostragem e distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar:
  • Proporção populacional ( p): 14% ou 0,14
  • Tamanho da amostra ( n): 256
  • Proporção que queremos comparar ( p): 12% ou 0,12

Passo 3

Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição da proporção amostral. A média dessa distribuição é igual à proporção populacional p, que já é 0,14.
Para o desvio padrão, usamos a fórmula:
sigmap = raizp(1 - p)n
Substituindo os valores:
sigmap = raiz0,14 times (1 - 0,14)256 = raiz0,14 times 0,86256 approx raiz0,1204256 approx raiz0,000470 approx 0,0217

Passo 4

Com a média e o desvio padrão calculados, vamos padronizar a proporção que queremos (12%) para encontrar o valor z correspondente na distribuição normal. Isso nos ajuda a achar a probabilidade desejada.
A fórmula para o cálculo do z é:
z = p - psigmap
Substituindo os valores:
z = 0,12 - 0,140,0217 = -0,020,0217 approx -0,92

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z na tabela da distribuição normal padrão. Um z de aproximadamente -0,92 corresponde a uma probabilidade de cerca de 0,1790 ou 17,90%.
Isso significa que há aproximadamente 17,90% de chance de que, numa amostra de 256 livros, menos de 12% sejam publicados antes de 1970.

Resposta

A probabilidade de que menos de 12% dos 256 livros amostrados tenham sido publicados antes de 1970 é de aproximadamente 17,90%.

Exercícios relacionados