Distribuição Hipergeométrica: Em um baralho com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe, se forem retiradas 5 cartas, qual é a probabilidade de exatamente 2 delas serem espadas?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um baralho padrão com 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (espadas, copas, ouros e paus). Queremos saber a probabilidade de, ao retirar 5 cartas desse baralho, exatamente 2 delas serem de espadas. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição hipergeométrica, que é útil para calcular probabilidades em situações onde temos sucessos e fracassos em amostras sem reposição.

Passo 2

A distribuição hipergeométrica nos ajuda a calcular a probabilidade de obter um certo número de sucessos em uma amostra, sem reposição. No nosso caso:
  • Total de cartas no baralho (N): 52
  • Número de cartas de espadas (M): 13
  • Número de cartas retiradas (n): 5
  • Número de cartas de espadas que queremos na retirada (k): 2

Passo 3

A fórmula da probabilidade hipergeométrica é a seguinte:
P(k) = binomMk cdot binomN - Mn - kbinomNn
Onde:
  • binomMk é o número de combinações de M itens escolhidos k a k.
  • binomN - Mn - k é o número de combinações dos itens que não são de espadas.
  • binomNn é o número total de combinações possíveis de 5 cartas.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Número de maneiras de escolher 2 cartas de espadas:
binom132 = 13!2!(13-2)! = 13 cdot 122 cdot 1 = 78
  1. Número de maneiras de escolher as 3 cartas restantes que não são de espadas:
binom393 = 39!3!(39-3)! = 39 cdot 38 cdot 373 cdot 2 cdot 1 = 9139
  1. Número total de maneiras de escolher 5 cartas do baralho:
binom525 = 52!5!(52-5)! = 2.598.960

Passo 5

Agora, aplicando os valores na fórmula da probabilidade:
P(2) = 78 cdot 91392.598.960
P(2) = 713.4422.598.960 ≈ 0,274, ou 27,4%

Resposta

A probabilidade de, ao retirar 5 cartas de um baralho, exatamente 2 serem de espadas é aproximadamente 27,4%.

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