Uma corda extremamente flexível de densidade uniforme de massa, massa m e comprimento total b é disposta em uma mesa de comprimento z suspensa sobre a extremidade da mesa. Somente a gravidade age na corda. Encontre a equação de movimento de Lagrange.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda flexível com densidade de massa uniforme, massa total m e comprimento b, que está parcialmente sobre uma mesa de comprimento z, com o restante pendurado e sob a ação da gravidade. O objetivo aqui é encontrar a equação de movimento usando o método de Lagrange. Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de Mecânica Clássica, especificamente o formalismo de Lagrange, que envolve calcular a energia cinética e potencial do sistema e aplicar as equações de Euler-Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma coordenada que descreva a posição da corda. Vamos considerar que a parte da corda que está pendurada é variável, então vamos chamar x o comprimento da corda que está pendurado sobre a mesa. Assim, a parte que está na mesa terá comprimento z = b - x. Essa escolha de coordenada nos ajudará a descrever o movimento da corda conforme ela se move para dentro ou para fora da mesa.

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética ( T) da corda. Como a corda é flexível e sua massa está distribuída de forma uniforme, cada pequena parte da corda está em movimento quando a corda se move. A energia cinética total será a integral da energia cinética de cada parte da corda. A velocidade de uma pequena parte da corda será proporcional à taxa de variação de x com o tempo, ou seja, dotx. Então, a energia cinética total pode ser expressa como:
T = 12 mu integral0^x dotx^2 , dx
onde mu = mb é a densidade linear de massa da corda.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia potencial ( V) da corda. A energia potencial é devida à gravidade atuando sobre a parte da corda que está pendurada. Cada pequena parte da corda a uma altura y contribui com energia potencial dV = mu g y , dy. Integrando essa expressão ao longo do comprimento pendurado x, temos:
V = mu g integral0^x y , dy = 12 mu g x^2

Passo 5

Com as expressões para a energia cinética ( T) e potencial ( V) em mãos, podemos escrever o Lagrangiano ( L), que é a diferença entre essas duas energias:
L = T - V = 12 mu dotx^2 x - 12 mu g x^2

Passo 6

Agora, aplicamos as equações de Euler-Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Euler-Lagrange é dada por:
ddt ( partial Lpartial dotx ) - partial Lpartial x = 0
Calculando as derivadas:
partial Lpartial dotx = mu dotx x
ddt ( mu dotx x ) = mu (ddotx x + dotx^2)
partial Lpartial x = 12 mu dotx^2 - mu g x
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
mu (ddotx x + dotx^2) - ( 12 mu dotx^2 - mu g x ) = 0
Simplificando:
mu ddotx x + mu dotx^2 - 12 mu dotx^2 + mu g x = 0
mu ddotx x + 12 mu dotx^2 + mu g x = 0
Dividindo todos os termos por mu:
x ddotx + 12 dotx^2 + g x = 0

Resposta

A equação de movimento obtida é:
x ddotx + 12 dotx^2 + g x = 0

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