Uma corda extremamente flexível de densidade uniforme de massa, massa
e comprimento total
é disposta em uma mesa de comprimento
suspensa sobre a extremidade da mesa. Somente a gravidade age na corda. Encontre a equação de movimento de Lagrange.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda flexível com densidade de massa uniforme, massa total
e comprimento
, que está parcialmente sobre uma mesa de comprimento
, com o restante pendurado e sob a ação da gravidade. O objetivo aqui é encontrar a equação de movimento usando o método de Lagrange. Para isso, vamos precisar trabalhar com conceitos de Mecânica Clássica, especificamente o formalismo de Lagrange, que envolve calcular a energia cinética e potencial do sistema e aplicar as equações de Euler-Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma coordenada que descreva a posição da corda. Vamos considerar que a parte da corda que está pendurada é variável, então vamos chamar
o comprimento da corda que está pendurado sobre a mesa. Assim, a parte que está na mesa terá comprimento
. Essa escolha de coordenada nos ajudará a descrever o movimento da corda conforme ela se move para dentro ou para fora da mesa.
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética (
) da corda. Como a corda é flexível e sua massa está distribuída de forma uniforme, cada pequena parte da corda está em movimento quando a corda se move. A energia cinética total será a integral da energia cinética de cada parte da corda. A velocidade de uma pequena parte da corda será proporcional à taxa de variação de
com o tempo, ou seja,
. Então, a energia cinética total pode ser expressa como:
onde
é a densidade linear de massa da corda.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a energia potencial (
) da corda. A energia potencial é devida à gravidade atuando sobre a parte da corda que está pendurada. Cada pequena parte da corda a uma altura
contribui com energia potencial
. Integrando essa expressão ao longo do comprimento pendurado
, temos:
Passo 5
Com as expressões para a energia cinética (
) e potencial (
) em mãos, podemos escrever o Lagrangiano (
), que é a diferença entre essas duas energias:
Passo 6
Agora, aplicamos as equações de Euler-Lagrange para encontrar a equação de movimento. A equação de Euler-Lagrange é dada por:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação de Euler-Lagrange:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
:
Resposta
A equação de movimento obtida é: