O potencial para um oscilador anarmônico é
onde
e
são constantes. Encontre as equações de movimento de Hamilton.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um oscilador anarmônico, que é basicamente um tipo de oscilador que não segue a simples lei do movimento harmônico, porque o potencial de energia inclui termos não lineares. O potencial dado é:
Aqui,
e
são constantes. A gente precisa encontrar as equações de movimento de Hamilton para esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, que é uma reformulação da mecânica clássica usando Hamiltoniana, que representa a energia total do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na Mecânica Hamiltoniana, a Hamiltoniana
é a soma da energia cinética
e da energia potencial
:
A energia cinética para uma partícula de massa
em movimento ao longo do eixo
é dada por:
onde
é o momento linear da partícula.
Passo 3
Agora, substituímos a energia cinética e a energia potencial na expressão da Hamiltoniana:
Essa é a nossa Hamiltoniana para o oscilador anarmônico.
Passo 4
As equações de movimento de Hamilton são dadas por duas equações diferenciais:
-
A derivada de
em relação ao momento nos dá a velocidade : -
A derivada de
em relação à posição , com sinal negativo, nos dá a aceleração :
Passo 5
Vamos calcular essas derivadas para a nossa Hamiltoniana.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Então, a primeira equação de Hamilton fica:
Passo 6
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando o sinal negativo na segunda equação de Hamilton:
Resposta
As equações de movimento de Hamilton para o oscilador anarmônico são: