O potencial para um oscilador anarmônico é U=k x^2 / 2+b x^4 / 4 onde k e b são constantes. Encontre as equações de movimento de Hamilton.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um oscilador anarmônico, que é basicamente um tipo de oscilador que não segue a simples lei do movimento harmônico, porque o potencial de energia inclui termos não lineares. O potencial dado é:
U = k x^22 + b x^44
Aqui, e são constantes. A gente precisa encontrar as equações de movimento de Hamilton para esse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de Mecânica Hamiltoniana, que é uma reformulação da mecânica clássica usando Hamiltoniana, que representa a energia total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na Mecânica Hamiltoniana, a Hamiltoniana H = T + U é a soma da energia cinética T = p^22m e da energia potencial :
A energia cinética para uma partícula de massa em movimento ao longo do eixo é dada por:
onde é o momento linear da partícula.

Passo 3

Agora, substituímos a energia cinética e a energia potencial na expressão da Hamiltoniana:
H = p^22m + k x^22 + b x^44
Essa é a nossa Hamiltoniana para o oscilador anarmônico.

Passo 4

As equações de movimento de Hamilton são dadas por duas equações diferenciais:
  1. A derivada de dxdt = partial Hpartial p em relação ao momento dpdt = -partial Hpartial x nos dá a velocidade :
  2. A derivada de em relação à posição , com sinal negativo, nos dá a aceleração :

Passo 5

Vamos calcular essas derivadas para a nossa Hamiltoniana.
Primeiro, a derivada parcial de partial Hpartial p = partialpartial p ( p^22m + k x^22 + b x^44 ) = pm em relação a dxdt = pm :
Então, a primeira equação de Hamilton fica:

Passo 6

Agora, a derivada parcial de partial Hpartial x = partialpartial x ( p^22m + k x^22 + b x^44 ) = k x + b x^3 em relação a dpdt = -( k x + b x^3 ) :
Aplicando o sinal negativo na segunda equação de Hamilton:

Resposta

As equações de movimento de Hamilton para o oscilador anarmônico são:
dxdt = pm
dpdt = -k x - b x^3

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