Um corpo de provas cilíndrico de alumínio tendo um diâmetro de 19 mm(0,75 in) e um comprimento de 200 mm(8,0 in) é deformado elasticamente em tração com uma força de 48.800 N(11.000 lbf). Considerando os dados da Tabela 6.1, determine o seguinte:
(a) Quanto esse corpo de provas irá se alongar na direção da tensão aplicada.
(b) A variação no diâmetro do corpo de provas. O diâmetro irá aumentar ou diminuir?
Uma barra cilíndrica em aço com 10 mm ( 0,4 in ) de diâmetro deve ser deformada elasticamente pela aplicação de uma força ao longo do seu eixo. Aplicando os dados na Tabela 6.1, determine a força que produzirá uma redução elástica de 3 times 10^-3 mm (1,2 times 10^-4 in) no diâmetro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um corpo de prova cilíndrico de alumínio que está sendo puxado com uma força. A gente vai precisar usar conceitos de tensão, deformação, Módulo de Young e o coeficiente de Poisson para descobrir quanto ele vai se alongar e como o diâmetro vai mudar. Além disso, temos uma barra de aço para calcular uma força que causa uma certa redução no diâmetro. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a): Quanto o corpo de prova vai se alongar na direção da força aplicada.
A fórmula que usamos para calcular o alongamento ( De) é:
Onde:
  • é a força aplicada,
  • é o comprimento original,
  • é a área da seção transversal,
  • é o Módulo de Young do material.
Vamos identificar cada valor:
  • Diâmetro , então a área
  • para o alumínio é aproximadamente (a depender da Tabela 6.1)

Passo 3

Vamos calcular a área da seção transversal:
A = pi (0,0192)^2 = pi (0,0095)^2 approx 3,1416 times 0,00009025 approx 0,000283 , m^2

Passo 4

Agora, substituindo os valores na fórmula do alongamento:
De
Vamos calcular o denominador primeiro:
0,000283 times 70 times 10^9 = 19.81 times 10^6 , N/m
Então:
De

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): A variação no diâmetro do corpo de prova e se ele vai aumentar ou diminuir.
Para isso, usamos o coeficiente de Poisson ( De), que relaciona a deformação lateral com a deformação axial. A fórmula para a variação no diâmetro ( ) é:
Onde:
  • para o alumínio é aproximadamente 0,33,
  • já calculamos,
  • e são os mesmos valores anteriores.

Passo 6

Substituindo os valores:
De
Vamos calcular passo a passo:
0,493200 = 0,002465
Então:
De
O sinal negativo indica que o diâmetro está diminuindo.

Passo 7

Agora, vamos para a segunda parte do exercício sobre a barra de aço.
Objetivo: Encontrar a força que causa uma redução elástica de F = De no diâmetro.
Vamos usar novamente o coeficiente de Poisson e a relação entre força e deformação.
A fórmula rearranjada para encontrar a força ( De) é:
F = -De
Mas nesse caso, a deformação é no diâmetro, então precisamos relacionar isso à força axial usando o coeficiente de Poisson.
Sabemos que:
Então, rearranjando para :
Onde:
  • para o aço é aproximadamente
  • para o aço é aproximadamente 0,3
  • Vamos assumir um comprimento (se não for dado, pode ser necessário mais informação)

Passo 8

Assumindo que o comprimento varepsilond = De não foi fornecido, provavelmente vamos precisar usar uma relação direta entre a força e a deformação lateral. Porém, sem o comprimento, não podemos calcular diretamente. Então, vamos usar a relação de deformação lateral:
varepsilona = -varepsilondnu = -0,00310 times 0,3 = -0,001
Onde sigma = 210 times 10^9 , Pa times 0,001 = 210 times 10^6 , Pa é a deformação axial. Então:
A = pi (102)^2 = pi times 5^2 = 78,54 , mm^2 = 78,54 times 10^-6 , m^2
Agora, usando a fórmula da tensão ( F = 210 times 10^6 times 78,54 times 10^-6 approx 16.494 , N ):
Agora, a força . Calculando a área:
Então:

Resposta

(a) O corpo de prova irá se alongar aproximadamente 0,493 mm na direção da tensão aplicada.
(b) O diâmetro do corpo de provas irá diminuir em cerca de 0,0155 mm.
Para a barra cilíndrica de aço, a força necessária para produzir uma redução elástica de no diâmetro é aproximadamente 16.494 N.

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