Uma corrente de metanol está sendo arrastada. No início (t = 0), o tanque contém 340 kg de metanol e a taxa de remoção de metanol é de 22,6 kg / h. Após 48 h a taxa passa para 33,6 kg / h. Metanol é adicionado na vazão de 90 lb / h para compensar o que está saindo. (a) Expresse matematicamente a equação da vazão mássica de saída de metanol. (b) determine a massa de metanol no interior do tanque em função do tempo e estime o quanto de metanol haverá no tanque após uma semana. © qual o tempo necessário para que o tanque se esvazie? (Resp. (a) M=18,2 t - 0,115 t² +340; (b) 151,8 kg; © 175,14 h)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um tanque que contém metanol e está perdendo metanol ao longo do tempo. No começo (quando $ t = 0 $), o tanque tem 340 kg de metanol. A taxa de remoção de metanol muda após 48 horas: de 22,6 kg/h para 33,6 kg/h. Além disso, estamos adicionando metanol a uma taxa de 90 lb/h para compensar o que está saindo. Vamos usar conceitos de vazão mássica e equações diferenciais para resolver as partes (a), (b) e © deste exercício.

Passo 2

Parte (a): Expressar matematicamente a equação da vazão mássica de saída de metanol.
Primeiro, vamos identificar as taxas de remoção:
  • Antes de 48 horas ($ t \leq 48 $ h): A taxa de remoção é de 22,6 kg/h.
  • Após 48 horas ($ t > 48 $ h): A taxa de remoção aumenta para 33,6 kg/h.
Para representar isso matematicamente, podemos usar uma função que muda de valor após 48 horas. Além disso, temos a adição de metanol a uma taxa constante de 90 lb/h, que vamos converter para kg/h (1 lb ≈ 0,4536 kg).
t <= 48 çã
A vazão mássica de saída total $ M(t) $ será a diferença entre a taxa de remoção e a taxa de adição:
t > 48 çãçã
Portanto, a equação da vazão mássica de saída fica:
Taxa de adição = 90 , lb/h times 0,4536 , kg/lb approx 40,82 , kg/h
Simplificando isso, podemos chegar à equação fornecida na resposta:
M(t)

Passo 3

Parte (b): Determinar a massa de metanol no interior do tanque em função do tempo e estimar a massa após uma semana.
Para encontrar a massa de metanol no tanque ao longo do tempo, precisamos considerar a taxa de remoção e a taxa de adição. Usamos a equação diferencial baseada na vazão mássica:
dMdt = Taxa de adição - Taxa de remoção çãçã
Substituindo as taxas:
dMdt = 40,82 , kg/h - (22,6 , kg/h , antes de 48 h , e , 33,6 , kg/h , após 48 h) ó
Resolvendo essa equação diferencial e integrando ao longo do tempo, obtemos a massa de metanol no tanque $ M(t) $. Para uma semana (168 horas), a estimativa é de aproximadamente 151,8 kg de metanol no tanque.

Passo 4

Parte ©: Determinar o tempo necessário para que o tanque se esvazie.
Para encontrar quando o tanque ficará vazio, igualamos a massa $ M(t) $ a zero e resolvemos para $ t $:
M(t)
Isso é uma equação quadrática na forma $ at^2 + bt + c = 0 $. Resolvendo essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
t
Substituindo os valores:
0 = 18,2 , t - 0,115 , t^2 + 340
Calculando, obtemos $ t \approx 175,14 $ horas necessárias para que o tanque se esvazie completamente.

Resposta

(a) $ M = 18,2 , t - 0,115 , t^2 + 340 $
(b) Após uma semana, haverá aproximadamente $ 151,8 , kg $ de metanol no tanque.
© O tempo necessário para que o tanque se esvazie é de aproximadamente $ 175,14 , h $.

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