Água está entrando em um tanque bem agitado a 150 kg / h e NaCl é adicionado a 30 kg / h. A solução resultante deixa o tanque a 120 kg / h. Devido a agitação, a concentração da solução de saída é a mesma do interior do tanque. Há 100 kg de água fresca no tanque, no início da operação e as vazões de entrada e saída permanecem constantes a partir daí. Calcule a concentração de saída (fração mássica) após 1 h. ( xs=12,6 % )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque com água e sal sendo adicionados e retirados. A gente vai usar o balanceamento de massa, que é basicamente garantir que a quantidade que entra menos a que sai igual à quantidade que fica no tanque. Precisamos calcular a fração mássica (a concentração de sal) que sai do tanque depois de 1 hora.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as entradas e saídas:
  • Entrada de água pura: 150 kg/h.
  • Entrada de NaCl (sal): 30 kg/h.
  • Saída da solução: 120 kg/h.

Passo 3

No início, temos 100 kg de água fresca no tanque. Como a agitação é boa, a concentração de sal na saída é igual à concentração no tanque.

Passo 4

Vamos chamar a concentração de sal no tanque de $ x(t) $ (fração mássica). Queremos achar $ x(1) $, ou seja, depois de 1 hora.

Passo 5

A taxa de aumento de sal no tanque é dada pela diferença entre o que entra e o que sai:
ddt(Sal) = Entrada de sal - Saída de sal í
ddt(Sal) = 30 - 120 cdot x(t)

Passo 6

A quantidade total de massa no tanque também muda. A taxa de mudança da massa no tanque é:
ddt(Massa) = Entrada de massa - Saída de massa í
ddt(Massa) = 150 + 30 - 120 = 60 , kg/h
Então, a massa no tanque após tempo $ t $ é:
t

Passo 7

Agora, substituímos $ M(t) $ na equação do sal:
M(t)
Isso resulta em uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar $ Sal $ em função do tempo.

Passo 8

Resolvendo a equação diferencial, encontramos que, após 1 hora:
x(1) = SalM(1) = 30 cdot 1100 + 60 cdot 1 = 30160 = 0,1875
Convertendo para porcentagem:
x(1) = 18,75%

Resposta

A concentração de saída após 1 hora é de 18,75%.

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