Água está entrando em um tanque bem agitado a
e NaCl é adicionado a
. A solução resultante deixa o tanque a
. Devido a agitação, a concentração da solução de saída é a mesma do interior do tanque. Há 100 kg de água fresca no tanque, no início da operação e as vazões de entrada e saída permanecem constantes a partir daí. Calcule a concentração de saída (fração mássica) após 1 h. (
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque com água e sal sendo adicionados e retirados. A gente vai usar o balanceamento de massa, que é basicamente garantir que a quantidade que entra menos a que sai igual à quantidade que fica no tanque. Precisamos calcular a fração mássica (a concentração de sal) que sai do tanque depois de 1 hora.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as entradas e saídas:
- Entrada de água pura: 150 kg/h.
- Entrada de NaCl (sal): 30 kg/h.
- Saída da solução: 120 kg/h.
Passo 3
No início, temos 100 kg de água fresca no tanque. Como a agitação é boa, a concentração de sal na saída é igual à concentração no tanque.
Passo 4
Vamos chamar a concentração de sal no tanque de $ x(t) $ (fração mássica). Queremos achar $ x(1) $, ou seja, depois de 1 hora.
Passo 5
A taxa de aumento de sal no tanque é dada pela diferença entre o que entra e o que sai:
Passo 6
A quantidade total de massa no tanque também muda. A taxa de mudança da massa no tanque é:
Então, a massa no tanque após tempo $ t $ é:
Passo 7
Agora, substituímos $ M(t) $ na equação do sal:
Isso resulta em uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar $ Sal $ em função do tempo.
Passo 8
Resolvendo a equação diferencial, encontramos que, após 1 hora:
Convertendo para porcentagem:
Resposta
A concentração de saída após 1 hora é de 18,75%.